Welches Flächenverhältnis haben die beiden gleichseitigen Dreiecke?

Question

Einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck wird ein gleichseitiges Dreieck einmal so einbeschrieben, dass eine Seite auf der Hypotenuse und ein Eckpunkt auf dem Scheitel des rechten Winkels liegt (Bild links) und einmal so einmal so einbeschrieben, dass eine Seite auf einer Kathete, ein Eckpunkt im Scheitel des rechten Winkel und ein Eckpunkt auf der Hypotenuse liegt (Bild rechts). Welches Flächenverhältnis haben die beiden gleichseitigen Dreiecke?

Answer 1

Das rechtwinklige Dreieck habe die Kathetenlänge 1.

Ich wende den Sinussatz auf das Dreick an, das aus dem gleichseitigen Dreieck und dem rechten weißen Dreieck zusammengesetzt ist.

a₁/sin45°=1/sin60°

a₂/sin45°=1/sin75°

(Auf 75° kommt man durch die Winkelsumme im Dreieck.)

Daraus folgt

a₁/a₂=sin75°/sin60°

Das Flächenverhältnis ist das Quadrat davon:

(1+√3)²/6≈1,244

Answer 2

Hallo Roland,
das Dreieck links ist eindeutig.
Gibt es nicht rechts unendlich viele Dreiecke ?

Comments

Georg: Du hast recht. Aber das Bild zeigt, dass eine Ecke auch hier auf dem Scheitel des rechten Winkels liegt. Das hätte ich noch in den Aufgabentext aufnehmen müssen.

Answer 3

Höhe im gleichseitigen Dreieck

h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$*g

Linkes Bild

$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$*a=1  a= $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Rechtes Bild

$\frac{\sqrt{3}}{2}$*b=$\frac{1}{\sqrt{2}}$  b= $\frac{2}{\sqrt{6}}$

$\frac{b²}{a²}$ = $\frac{( \sqrt{3}+1)^{2}}{6}$  ≈ 1,244

Nur zur Vollständigkeit,

denn MontyPhyton s

Lösung finde ich schöner.