durchschnittliche Wachstumsrate und momentane berechnen

Question

Aufgabe: h(t)= -1/3t³+2t²+21t+10

a. Geben Sie die Höhe der Sonnenblume zu Beginn des Beobachtungszeitraumes in Zentimetern an. Ermitteln Sie die durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum von t = 1 bis t = 7 sowie die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt t = 7.

b. Ermitteln Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt eine momentane Wachstumsrate von 15 cm/ Woche erreicht ist.

c. Die Gärtnerei wirbt mit dem Versprechen: „Unsere Pflanzen erreichen eine maximale Wachstumsrate von 27 cm pro Woche. Da können Sie beim Wachsen zusehen!“.
Überprüfen Sie rechnerisch, ob die versprochene Wachstumsrate erreicht werden kann.

Problem/Ansatz:

a. Also bei der momentanen Wachstumsrate muss ich die 7 in die 1. Ableitung setzen, aber bei der durchschnittlichen Wachstumsrate weiß ich nicht, wie ich das berechnen soll.

b. Muss ich die 15 cm/Woche  mit der 1. Ableitung gleichsetzen?

c. Da weiß ich nicht weiter :/

Answer 1

Ich nehme mal an t beschreibt die Zeit in Wochen und h die Höhe in Zentimetern.

a) Berechne h(0).

Bilde den Anstieg der Sekante in den Punkten P(1|h(1)) und P(7|h(7)). (Das kennst du analog zu linearen Funktionen bzgl. zwei Punkten)

Bilde die Ableitung h' und berechne h'(7).

b) Ja, setze h'(t)=15 und berechne t. Achte dabei auf t>=0 (t<0 macht keinen Sinn).

c) Untersuche h' auf lokale Hochpunkte (d.h. untersuche h''). Gegebenenfalls musst du zusätzlich noch die Randpunkte (Anfang und Ende des Beobachtungszeitraums) für h' überprüfen (globale Extrema).

Falls du irgendwo einen Wert von h' von mindestens 27 (im Beobachtungszeitraum) erhältst, kannst du die Aussage bestätigen, ansonsten ist die Aussage falsch.

Nachträglicher Zusatz (zur Kontrolle):

a) Anfangshöhe 10, Durchschnittliche Rate: 18, Momentane Rate: 0

b) t=2+√(10)

c) Das Versprechen entspricht nicht der Realität (die Aussage ist falsch).

Answer 2

Höhe einer Sonnenblume

h(t) = - 1/3·t^3 + 2·t^2 + 21·t + 10
h'(t) = - t^2 + 4·t + 21
h'(t) = - 2·t + 4

a) Geben Sie die Höhe der Sonnenblume zu Beginn des Beobachtungszeitraumes in Zentimetern an.

h(0) = 10 cm

b) Ermitteln Sie die durchschnittliche Wachstumsrate im Zeitraum von t = 1 bis t = 7 sowie die momentane Wachstumsrate zum Zeitpunkt t = 7.

(h(7) - h(1)) / (7 - 1) = ((422/3) - (98/3)) / (7 - 1) = 18 cm/Woche

h'(7) = 0 cm/Woche

c) Ermitteln Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt eine momentane Wachstumsrate von 15 cm/Woche erreicht ist.

h'(t) = - t^2 + 4·t + 21 = 15 → t = √10 + 2 = 5.162 Wochen

d) Die Gärtnerei wirbt mit dem Versprechen: "Unsere Pflanzen erreichen eine maximale Wachstumsrate von 27 cm/Woche. Da können Sie beim Wachsen zusehen!". Überprüfen Sie rechnerisch, ob die versprochene Wachstumsrate erreicht werden kann.

h''(t) = - 2·t + 4 = 0 → t = 2
h'(2) = 25 cm/Woche