0 Daumen
120 Aufrufe

Aufgabe:

Beweise folgende Aussage: Wenn eine quadratische Funktion f(x)=x2+px+q genau eine Nullstelle u besitzt so gilt immer: f‘(u)=0.


Mein Ansatz: blob.jpeg

Text erkannt:

7.

von

4 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

Nullstellenberechnung mit der pq-Formel:

\(x_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}\)

Die Funktion hat nur eine Nullstelle, wenn der Ausdruck hinter \(\pm\) = 0 ist

⇒ \( x=-\frac{p}{2} \)

$$f'(x)=2x+p\\ 2x+p=0\\ 2x=-p\\ x=-\frac{p}{2}$$

Ich weiß allerdings nicht, ob das als Beweis reicht.

Gruß, Silvia

von 15 k
+1 Daumen

$$\text{Sei } f(x)=x^2+px+q \text{ eine quadratische Funktion mit genau einer Nullstelle.}\\ \text{Dann ist die Diskriminante bei Ermittlung der Nullstelle mit der pq-Formel } 0 \text{, d.h. } q=\left(\frac{p}{2}\right)^2 \text{.} \\\text{Dann folgt } f(x)=x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2 = (x+\frac{p}{2})^2 \text{ und } f \text{ besitzt den Scheitelpunkt } P(-\frac{p}{2}|0) \text{.}\\ \text{Insbesondere berührt f die x-Achse von oben. Es folgt nun } f'(x)=2\cdot (x+\frac{p}{2}) \Rightarrow f'(-\frac{p}{2})=0 \text{.}$$

von 2,1 k

Vielen Dank für die Antwort. Mir ist alles klar, bis zu dem Punkt f‘(x)=2(x+p/2)  -> f‘(-p/2)=0

Mitunter reicht auch die Begründung, dass sich der Scheitelpunkt (nach Definition der Extrempunkt einer Parabel, an dessen Stelle der Wert der ersten Ableitung 0 beträgt) von f an der Nullstelle von f befindet.

Ich hatte hier zusätzlich die Funktion f noch abgeleitet (in meinem Fall mithilfe der Kettenregel) und dann gezeigt, dass der Wert der ersten Ableitung f' an der Nullstelle -p/2 von f auch 0 beträgt, was offenbar mit

$$f'(-\frac{p}{2}) = 2\cdot (-\frac{p}{2} + \frac{p}{2})=2\cdot 0 = 0$$

der Fall ist.

0 Daumen

Wenn die Funktion genau eine Nullstelle u besitzt, dann ist sie von der Form

f(x) = (x-u)*(x-u)= x² - 2ux +u²

f'(x)=2x - 2u =0

x=u

f'(u)=0 wie zu zeigen war

von 4,4 k

Da hast du aber Glück, dass du vom Löschcoach nicht erfasst wurdest.

Oh, ja, da oben wurde was gelöscht.

Wenn du deine Antwort auch schreibst, lösche ich meine obwohl ich das erst später gesehen hatte, was du geschrieben hast. Ich finde unsere Lösung um ein Vielfaches besser als die anderen Antworten.

0 Daumen

Die Funktion
f (x ) =x^2+p*x+q
ist eine Parabel

Bei nur 1 Nullstelle ist der Berührpunkt der ein Scheitelpunkt

Die Steigung f ´( x ) im Scheitelpunkt ist immer 0

von 102 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community