Orthonormalbasis. Wie berechnet man das normierte Polynom q1:= p1/∣∣p1∣∣ und das Lot anhand dieses Beispiels?

Question

Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome R_≤2[x] mit dem Skalarprodukt
mit <r,s>:=2r₂s₂+r₁s₁+2r₀s₀

r:=r₂x^₂+r₁x+r₀ ,s:=s₂x²+s₁x+s₀
und eine Basis ℬ={p1,p2,p3}.

B= (p1,p2,p3)      mit

p1:=   3x²+3

p2:=  -7x
p3:=   -x²+x+3

Daraus soll eine Orthonormalbasis {q1,q2,q3} nach dem Verfahren von Gram-Schmidt berechnet werden.

a)   Berechnen Sie das normierte Polynom q1:=  p1/∣∣p1∣∣ .

b)   Berechnen Sie l2:=   p2−<p2,q1>q1 .

c)   Berechnen Sie das normierte Polynom q2:=l2/∣∣l2∣∣ .

d)   Berechnen Sie l3:=   p3−<p3,q1>q1−<p3,q2>q2 .

e)    Berechnen Sie das normierte Polynom q3:=   l3/∣∣l3∣∣ .

Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht zurecht. Ich wäre für jegliche Hilfe sehr dankbar.

Mein Ergebnis für a) lautet " 1/2* x²+1 " , wobei ich mir da ziemlich unsicher bin :((

Answer 1

Die Aufgabenstellung ist ein wenig unstrukturiert geraten. Ich schreibe sie mal etwas sauberer auf:

Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome $R_{\le 2}\left[ x \right]$ mit dem Skalarprodukt

$$\left< r,s \right> :=2{ r }_{ 2 }{ s }_{ 2 }+{ r }_{ 1 }{ s }_{ 1 }+2{ r }_{ 0 }{ s }_{ 0 }$$

für Polynome $r:={ r }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ r }_{ 1 }x+{ r }_{ 0 }$ und $s:={ s }_{ 2 }{ x }^{ 2 }+{ s }_{ 1 }x+{ s }_{ 0 }$ aus $R_{\le 2}\left[ x \right]$

und eine Basis $B =\left\{ { p }_{ 1 },{ p }_{ 2 },{ p }_{ 3 } \right\}$ mit

$${ p }_{ 1 }:=3{ x }^{ 2 }+3$$$${ p }_{ 2 }:=-7x$$$${ p }_{ 3 }:=-{ x }^{ 2 }+x+3$$

 

Die Norm $\left\| P ( x ) \right\|$ eines Polynoms $P(x)={ a }_{ n }{ x }^{ n }+{ a }_{ n-1 }{ x }^{ n-1 }+...+{ a }_{ 0 }$

ist definiert als 

$$\left\| P ( x ) \right\| =\sqrt { ({ a }_{ n }^{ 2 }{ +a }_{ n-1 }^{ 2 }{ +...+a }_{ 0 }^{ 2 }) }$$

 

Zur Lösung der Teilaufgaben muss man nun die Definitionen anwenden und sorgfältig rechnen (ich hoffe, dass ich das selbst auch geschafft habe :-) )

Also:

a)

$${ q }_{ 1 }:=\frac { { p }_{ 1 } }{ \left\| { p }_{ 1 } \right\| } =\frac { 3{ x }^{ 2 }+3 }{ \sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }+3 }{ \sqrt { 18 } } =\frac { 3{ x }^{ 2 }+3 }{ 3\sqrt { { 2 } } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$$

b)

$${ I }_{ 2 }:={ p }_{ 2 }-\left< { p }_{ 2 },{ q }_{ 1 } \right> *{ q }_{ 1 }$$$$=-7x-\left< { 0{ x }^{ 2 }-7x+0 },\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+0x+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right> *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)$$$$=-7x-\left( 2*0*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +(-7)*0+2*0*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)$$$$=-7x-0*\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)$$$$=-7x$$

c)

$${ q }_{ 2 }:=\frac { { I }_{ 2 } }{ \left\| { I }_{ 2 } \right\| } =\frac { -7x }{ \sqrt { { (-7 })^{ 2 } } } =\frac { -7x }{ 7 } =-x$$

d)

$${ I }_{ 3 }:={ p }_{ 3 }-\left< { p }_{ 3 },{ q }_{ 1 } \right> *{ q }_{ 1 }-\left< { p }_{ 3 },{ q }_{ 2 } \right> *{ q }_{ 2 }$$$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\left< -{ x }^{ 2 }+x+3,\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+0x+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right> *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right)-\left< -{ x }^{ 2 }+x+3,0{ x }^{ 2 }-x+0 \right> *(-x)$$

$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\left( 2*(-1)*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } +1*0+2*3*\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) -\left( 2*(-1)*0+1*(-1)+2*3*0 \right) *(-x)$$

$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\left( \frac { -2 }{ \sqrt { 2 } } +\frac { 6 }{ \sqrt { 2 } } \right) *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) -\left( -1 \right) *(-x)$$

$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-\frac { 4 }{ \sqrt { 2 } } *\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) -x$$

$$=-{ x }^{ 2 }+x+3-2{ x }^{ 2 }-2-x$$

$$=-3{ x }^{ 2 }+1$$

e)

$${ q }_{ 3 }:=\frac { { I }_{ 3 } }{ \left\| { I }_{ 3 } \right\| } =\frac { -3{ x }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { (-3)^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } } =\frac { -3{ x }^{ 2 }+1 }{ \sqrt { 10 } } =\frac { -3 }{ \sqrt { 10 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } }$$

Somit lautet die gesuchte Orthonormalbasis:

$$B^{ * }=\left\{ { q }_{ 1 },{ q }_{ 2 },{ q }_{ 3 } \right\} =\left\{ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ,-x,\frac { -3 }{ \sqrt { 10 } } { x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \right\}$$

Comments

Darf man denn in der Summe bei a) kürzen?

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Hallo JotEs,,

kannst du mir den rechenweg zu a) erklären?

Diersen verstehe ich nicht!

Vielen dank

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ich habe eine frage zu a). wo ist das x² geblieben bei (3+3)¹/2?