Quadratische Gleichung mit Euler-Funktion

Question

Aufgabe:

e^(1/2x)-7e^(x) +10 = 0

Problem/Ansatz:

Lösen durch Substitution und Rücksubstitution mit natürlichem Logerithmus und nicht mit Wurzelziehen

Answer 1

e^(1/2·x) - 7·e^x + 10 = 0

x = 2·u

e^u - 7·e^(2·u) + 10 = 0

e^u = v

v - 7·v^2 + 10 = 0

- 7·v^2 + v + 10 = 0

Das ist jetzt eine einfache quadratische Gleichung

v = 1/14 - √281/14 = -1.126 → Keine Lösung

v = √281/14 + 1/14 = 1.269 → u = LN(√281/14 + 1/14) --> x = 2·LN(√281/14 + 1/14) = 0.4761

Comments

Danke, habe aber leider einen Fehler in der Gleichung gemacht.

Muss die Frage neu stellen.

Ansonsten schon verstanden.

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Wenn du es verstanden hast dann probiere deine Gleichung zunächst selber zu lösen und stell sie dann mit Lösung zusammen ein.

Answer 2

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) x=0,4761...

e^(x)=e^(1/2*x)*e^(1/2*x)  Potenzgesetz a^(r)*a^(s)=a^(r+s)

0=-7*e^(0,5)*x)*e^(0,5*x)+1*e^(0,5*x)+10  Substitution (ersetzen) z=e^(0,5*x)

0=-7*z²+z+10  dividiert durch -7

0=z²-1/7*z-10/7   → z1=-1,125 und z2=1,269   ln(x)  für x≤0 nicht definiert

z=1,269=e^(0,5*x) logarithmiert

ln(1,269)=ln(e^(0,5*x)=0,5*x siehe Logarithmengesetz log(a^(x))=x*log(a)

x=ln(1,269)/0,5=0,4761..

~plot~e^(0,5*x)-7*e^(x)+10;[[-4|3|-10|10]];x=0,476~plot~