Polynomfunktion Nullstelle Berechnung

Question

Aufgabe:

f(x) = x^5 + 4x^3 + 2x + 4

Problem/Ansatz:

wie kriegt man bei der aufgabe die nullstellen heraus kann mir jemand die aufgabe rechnen und den rechenweg zeigen bitte.

Answer 1

^{Nach Kommentaren verbessert:}

Alle Summanden bis auf die Konstante sind streng monoton steigend. Daher ist die Funktion streng monoton steigend. Dann kann die Funktion also nur eine Nullstelle im reellen Bereich haben.

Mit einem Näherungsverfahren wie der Intervallschachtelung oder dem Newtonverfahren findet man diese sehr schnell bei etwa x = -0.8021

Comments

Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind ist es eine streng monoton steigende Funktion

Ahja

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Bei \(x^5-4x^3+2x+4\) sind auch alle Koeffizienten ganzzahlig, aber die Funktion ist nicht streng monoton wachsend. Dein Ergebnis stimmt, aber die Begründung für nur eine Nullstelle ist falsch.

~plot~ x^5-4x^3+2x+4 ; [[-2|2|0|10]] ~plot~

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...natürliche Zahlen...

bzw. positive Zahlen

:-)

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@MonthyPython dann ist sie auch nicht zwangsläufig monoton steigend.

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Ich hab es oben verbessert.

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@Doesbaddel

Stimmt. Ich hätte die ungeraden Exponenten erwähnen müssen.

:-)

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@MontyPython

Ja und dummerweise hat die Konstante auch einen geraden Exponenten von 0.

Das hatte mich wohl gestern auch überfordert in schöne Worte zu packen.

Answer 2

f(x) = x^5 + 4x^3 + 2x + 4

Als Nullstellen kommen nur negative Werte in Frage. -2 springt geradezu ins Auge. Ist ein Fehler, auf den Werner Salomon mich aufmerksam gemacht hat.

Die einzige Nullstelle liegt etwa bei -0,8020

f(-0,8020)≈0,0008

f'(x)= 5x^4 +12x^2+2=0

x^2=z

5z^2+12z+2=0

z^2+12/5z+2/5=0

z1= -6/5 +\( \sqrt{1,44-0,4} \)

z1= -1,2 +\( \sqrt{1,04} \)

z1≈ - 1,2+ 1,0198=-0,1802

z2≈-2,2198

Es existiert keine Nullstelle der Ableitung im reellen. d.h

Keine Extrema

f''(x)=20x^3+12x

Wendestelle bei (x=0; y=4)

Da nur ungerade Exponenten vorkommen, ist sie punktsymmetrisch zur Wendestelle.

Comments

(x⁵ + 4x³ + 2x + 4)/(x+2)= x4 - 2x³+2=0
x⁵+2x⁴
    -2x⁴+4x³
    -2x⁴+4x³

der letzte Term ist \(-2x^4 \colorbox{#ffff00} - 4x^3\)

f(-2)= -32 +32-4+4=0

\(f(-2) = -32 \colorbox{#ffff00} - 32 - 4 + 4 = -64 \ne 0\)

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Danke, werde ich ändern.