Die 3 kann man das vielleicht plausibilisieren (nettes Wort, nicht?)

Question

Aufgabe:

\( F(x)=\frac{1}{ \textcolor{red}{3} * 8}{ }^{*} x^{(3)} \)

\( F(x)=\frac{1}{24}{ }^{*} x^{(3)} \)

Ich erinnere mich nicht, wie es zu der roten 3 in den Formeln kommt.

x^{3} Kann man das vielleicht erklären?

Comments

ich erinnere mich nicht, wie es zu der DREI in den Formeln kommt

Woher stammt denn die Funktion \(F(x)\)? und wieso sollte das hier jemand wissen? Das ist eine stinknormale kubische Funktion. Und Du hast ja sonst keinerlei Angaben gemacht.

Und welche der beiden 3'en ist denn gemeint? die wo der rote Pfeil hinzeigt, oder die im Exponenten von \(x\)?

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Wir haben keinerlei Kontext zu deinen vorigen Berechnungen und Gedankenwegen. Wie sollen wir wissen, was du meinst? Was ich dir sagen kann ist, dass 3 Mal 8 wirklich 24 ist. Das wolltest du aber wahrscheinlich nicht wissen.

Answer 1

Text erkannt:

Allgemein Stammfunktion bilden:
\( f(x)=a \cdot x^{n} \)
\( F(x)=a \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \)
In deinem Fall:
\( g(x)=\frac{1}{8} \cdot x^{2} \)
\( G(x)=\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{8} \cdot \frac{x^{3}}{3}+c=\frac{1}{24} x^{3}+C \)
mfG
Moliets

Answer 2

x^{3} ableiten liefert 3x^{2}.

Umgekehrt ist eine Stammfunktion von 3x^{2} dann x^{3}.

Wenn du zu x^{2} eine Stammfunktion suchst, musst du beides durch 3 dividieren, also:

$$f(x)=x^2 \Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{3}+C$$

In deinem Fall dürfte es so aussehen:

$$f(x)=\frac{1}{8}x^2 \Rightarrow F(x)=\frac{1}{8}\cdot\frac{x^3}{3}+C=\frac{1}{24}x^3+C$$

Comments

Formel klar - Ergebnis klar

Frage nur:  Was bedeutet die 3

Zusammen gefaßt:

Text erkannt:

Ist es nur ein Operator?
Aufgabe: \( \quad \) Die 3 kommt in der Kanalbreite \( =8 \mathrm{m} \) Aufgabe ja eigentlich nicht Kanaltiefe \( =2 \mathrm{m} \) Frage Wieviel \( \mathrm{m}^{2} \) hat der Kanalquerschnitt?
Berechnung:
\( \left(8^{*} 2\right)-1 /\left(3^{*} 8\right)^{*} 4^{\wedge} 3-1 /\left(3^{*} 8\right)^{*}\left(-4^{\wedge} 3\right)=\left[16 \mathrm{m}^{2}-51 / 3=10,67 \mathrm{m}^{2}\right] \)

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Was bedeutet die 3

Der Kanal hat einen parabelförmigen Querschnitt. 'Parabel' heißt, es ist eine quadratische Funktion, heißt: im Exponenten steht eine \(2\) - konkret hat diese Parabel die Funktion:$$y = \frac 18 x^{\colorbox{#ffff00}{2}}$$

Um die (rot straffierte) Querschnittsfläche zu berechnen, muss man die Funktion integrieren. Beim Integrieren wird der Exponent von \(x\) um \(1\) erhöht und anschließend der Term durch den erhöhten Exponenten dividiert.

Das bedeutet, die \(3\) ist die um \(1\) erhöhte \(2\) - oder kurz \(\colorbox{#ff88ff} 3 = \colorbox{#ffff00} 2+ 1\). Das Integral ist $$\int_{-4}^4 \frac 18 x^{\colorbox{#ffff00} 2} \, \text dx = \left. \frac 18 \cdot \frac 1{\colorbox{#ff88ff} 3} x ^{\colorbox{#ff88ff} 3}\right\vert_{-4}^4 \\ \quad = \frac 1{8 \cdot \colorbox{#ff88ff} 3} 4^{\colorbox{#ff88ff} 3} - \frac 1{8\cdot \colorbox{#ff88ff} 3} (-4)^{\colorbox{#ff88ff} 3} $$

Du solltest ganz konkret nachfragen, was genau Du an den Antworten nicht verstehst. Das hier ist immerhin die 8'te Antwort auf die mehr oder weniger gleiche Frage ...

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Die 3, besser 1/3, ist kein Operator, sondern eine Zahl.

Anschaulich bedeutet es, dass die rot schraffierte Fläche ein Drittel des rot umrandeten Rechtecks ausmacht.

Rechnerisch erhält man den Faktor 1/3, wenn man den Flächeninhalt unter der Parabel mit Unter- und Obersummen bestimmt. Das erscheint aber vielen Schülerinnen und Schülern zu kompliziert und sie sind froh, wenn sie die Formel bekommen, die Hogar in seiner Antwort genannt hat.

:-)

Answer 3

$$ \int\limits_{}^{}a* x^n dx=a* \frac{1}{n+1}*x^{(n+1)}+c$$

hier

$$a= \frac{1}{8} ;n=2 $$

$$ \int\limits_{}^{} \frac{1}{8}* x^2 dx= \frac{1}{8}* \frac{1}{3}*x^{3}+c$$$$=\frac{1}{24}*x^{3}+c$$

Denn wenn

$$F(x)=\frac{1}{24}*x^{3}+c$$

$$f(x)=F'(x)=\frac{1}{8}*x^{2}$$

oder allgemein

$$F(x)=a* \frac{1}{n+1}*x^{(n+1)}+c$$

$$F'(x)=a* \frac{n+1}{n+1}*x^{n}$$

$$f(x)=F'(x)=a*x^{n}$$

Comments

Danke vielmals an das Kollegium,

der Fall ist klargestellt    Ich habe die Parabel als x^2 gesehen und war zunächst irritiert über x^3.

Super follow-up!

Gruss

blomberg

Text erkannt:

\( n+1 \) bzw. \( x^{2+1} \)

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Hi,

nachdem nun Klarheit über den Kanalquerschnitt besteht, hier die eigentliche Problematik:

Text erkannt:

Der Kanal
Wieviel Wasser in \( \mathrm{m}^{3} \) befindet sich in dem \( 2 \mathrm{km} \) langen Kanal, wenn der Pegelstand von 0 bis \( 2 \mathrm{m} \) Höhe variiert?