Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für hinreichend große n die Ungleichung gilt

Question

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für hinreichend große \( n \) die Ungleichung

$$ n^{2}>2 n+1 $$ gilt.

Ist es möglich, dass man nach Umformung des Induktionsschrittes: (n+1)^2 > 2n+3 auf n^2 > 2 , die Ungleichung n^2 > 2 nochmal einzeln durch eine vollständige Induktion beweist? Ich wüsste nicht wie es anders geht.

Answer 1

Es gilt offenbar für n≥3.

Ind.anfang:  n=3 da hast du 9 > 7 ✓

Angenommen es gilt für ein n≥3 die Ungl n^2 > 2n+1   #

Dann musst du ja die Gültigkeit für n+1 zeigen, also

die Ungleichung (n+1)^2 > 2(n+1) + 1.

Dazu betrachte: (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1   (wegen # also)

                     > 2n+1 + 2n+1 = 4n+2  = 2n+2 +   2n

und wegen n≥3 ist ja sicherlich 2n > 1 also kannst du

fortsetzen          > 2n+2 + 1 = 2(n+1) + 1 . q.e.d.

Comments

verstehe, danke!

Answer 2

Es soll von (1) n²>2n+1 auf (n+1)²>2(n+1)+1 geschlossen werden. Dazu muss n>1 vorausgesetzt werden. Dann ist 2n>2 und

(2) 2n+1>3. Jetzt werden /1) und (2) addiert:

n²+2n+1>2n+4 Umformen ergibt:

(n+1)²>2(n+1)+2

Wegen 2(n+1)+2>2(n+1)+1

ist dann

(n+1)²>2(n+1)+1

Comments

Dazu muss n>1 vorausgesetzt werden.

\(n \gt 2 \) sonst klappt der Induktionsanfang nicht.
Mit \(n=2\) ist ja  \(2^2 \not \gt 2 \cdot 2 + 1\)

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Über den Induktionsanfang habe ich keine Aussage gemacht. Natürlich muss der FS sich darüber Gedanken machen.