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Aufgabe: Berechne die Projektion von Vektor x = (1|2|3|-1) und Vektor y = (3|0|-2|1) und gib die Zerlegung von Vektor x = Vektor x || + Vektor x ⊥ an.


Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht ganz genau, wie ich hier beginnen soll. Welche Formel muss ich bei der Projektion anwenden und wie versteht man die zweite Teilaufgabe?

Gruß

x=x+x \vec{x}=\vec{x}_{\|}+\vec{x}_{\perp}

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Aloha :)

Hier ist vermutlich die Projektion von x\vec x auf y\vec y gemeint:

x=(xy)y2y=[(1231)(3021)](32+02+(2)2+12)2(3021)=3+0619+0+4+1(3021)\boxed{\vec x_\parallel=\frac{(\vec x\cdot\vec y)}{\|\vec y\|^2}\,\vec y}=\frac{\left[\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\-1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}3\\0\\-2\\1\end{array}\right)\right]}{\left(\sqrt{3^2+0^2+(-2)^2+1^2}\right)^2}\left(\begin{array}{r}3\\0\\-2\\1\end{array}\right)=\frac{3+0-6-1}{9+0+4+1}\left(\begin{array}{r}3\\0\\-2\\1\end{array}\right)x   =414(3021)=(6/704/72/7)\phantom{\vec x_\parallel}\;\,=\frac{-4}{14}\left(\begin{array}{r}3\\0\\-2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-6/7\\0\\4/7\\-2/7\end{array}\right)

x=xx=(1231)(6/704/72/7)=(7/7+6/72021/74/77/7+2/7)=(13/7217/75/7)\vec x_\perp=\vec x-\vec x_\parallel=\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}-6/7\\0\\4/7\\-2/7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}7/7+6/7\\2-0\\21/7-4/7\\-7/7+2/7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}13/7\\2\\17/7\\-5/7\end{array}\right)

Die gesuchte Zerlegung von x\vec x in einen zu y\vec y parallelen und senkrechten Anteil lautet daher:

(1231)=x=(6/704/72/7)=x+(13/7217/75/7)=x\underbrace{\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\-1\end{array}\right)}_{=\vec x}=\underbrace{\left(\begin{array}{r}-6/7\\0\\4/7\\-2/7\end{array}\right)}_{=\vec x_\parallel}+\underbrace{\left(\begin{array}{r}13/7\\2\\17/7\\-5/7\end{array}\right)}_{=\vec x_\perp}

Die wichtige Formel für die Projektion von x\vec x auf y\vec y ist die oben eingerahmte.

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Aufgabe: Berechne die Projektion von Vektor x = (1|2|3|-1) und Vektor y = (3|0|-2|1) und gib die Zerlegung von Vektor x = Vektor x || + Vektor x ⊥ an.

x=(yx/yy)yx||=(y*x/y*y)y

yx=361=4y*x=3-6-1=-4yy=9+4+1=14y*y=9+4+1=14(yx/yy)=4/14=2/7(y*x/y*y)=-4/14=-2/7x=(yx/yy)yx||=(y*x/y*y)y=2/7(3021)=-2/7*(3|0|-2|1)=(6/704/72/7)=(-6/7|0|4/7|-2/7)x=xxx ⊥=x-x||=(1231)(6/704/72/7)=(1|2|3|-1)-(-6/7|0|4/7|-2/7)=(13/7217/75/7)=(13/7|2|17/7|-5/7)

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

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Hallo,

Welche Formel muss ich bei der Projektion anwenden ..

Die Frage nach der Formel ist immer die falsche Frage. Die Formel nützt Dir nichts, wenn Du nicht weißt, was Du damit rechnest, selbst wenn am Ende das richtige Ergebnis raus kommt.

... und wie versteht man die zweite Teilaufgabe?

das zeigt, dass Du die Aufgabenstellung nicht verstanden hast; es gibt keinen zweiten Teil. xx_{\parallel} ist die Projektion von xx auf etwas - also hier wohl auf yy. Ist xx_{\parallel} berechnet, so ist auch die Zerlegung bekannt.

Folgendes Bild:
blob.png

Die Projektion des Vektor xx auf yy ist das was übrig bleibt, wenn man alle Punkte, aus denen der Vektor xx besteht, senkrecht auf die Gerade (hellblau) fallen lässt, die durch den Vektor yy (blau) definiert ist. Hier ist das der rote Vektor xx_{\parallel} alias xparx_{\text{par}}.

Das ganze noch mal in 2D:

blob.png

Die Länge von xx_{\parallel} ist x=xcosφ|x_{\parallel}| = |x| \cdot \cos \varphi. Wobei φ\varphi (blau) der Winkel zwischen dem Vektor xx und der Bezugsrichtung (hellblau) ist. Jetzt weiß Du vielleicht, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren aa und bb wie folgt definiert ist aTb=abcosφa^T \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \varphi φ\varphi ist wieder der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Hat nun der erste die Länge 1 und der zweite ist xx, dann ist nTx=xcosφ,n=1n^T \cdot x = |x| \cdot \cos \varphi, \quad |n| = 1Und das ist nichts anderes als die Länge der Projektion. Man braucht also nur den Vektor yy zu normieren und schon kann man die Länge von xx_{\parallel} aus dem Skalarprodukt berechnenx=(yy)Tx|x_{\parallel}| = \left( \frac{y}{|y|}\right)^T \cdot xDas ist aber nur ein Skalar. Um daraus einen Vektor zu machen, der parallel zu yy läuft, also in Richtung yy zeigt, multipliziert man diesen Wert noch mit dem Einheitsvektor von yy:x=((yy)Tx)yy=yTxy2y=yTxyTyyx_{\parallel} = \left( \left( \frac{y}{|y|}\right)^T \cdot x \right) \cdot \frac{y}{|y|} = \frac{y^T x}{|y|^2} \cdot y = \frac{y^T x}{y^T y} \cdot y Und die nummerische Berechnung kannst Du ruhig einem Rechenknecht überlassen, z.B. einem Tabellenkalkulationsprogramm:

blob.png

In den Zellen B8 und C8 steht das Ergebnis der Matrizenmultiplikation yT(x,y)y^T \cdot (x,y). Teilt man die beiden Zahlen durcheinander, so erhält man den Faktor 2/7-2/7, mit dem yy multipliziert werden muss, um xx_{\parallel} zu erhalten. Und xx_{\perp} ist dann schlicht x=xxx_{\perp} = x - x_{\parallel}.

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x ∥  ist die Projektion von x auf etwas - also hier wohl auf y

Eine gut gemeinte und vielleicht sogar richtige Interpretation.

Aus meiner Sicht ist es hilfreicher für alle Beteiligten (sogar für den Fragesteller - auch wenn der das in seiner Not vermutlich anders sieht), wenn man nicht mutmaßliche Interpretationen als Grundlage für Antworten nimmt, sondern erst einmal darauf dringt, dass die Frage dem Problem angemessen (hier: WORAUF wird projiziert) formuliert wird.

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