Menge auf Supremum, Infimum, Maximum oder Minimum untersuchen

Question

b) Untersuchen Sie, ob die Menge \( M_{2} \) ein Supremum, Infimum, Maximum oder Minimum besitzt und geben Sie diese, falls vorhanden, an:
\( M_{2}=\bigcup_{r \in[0,1)}(-2, r] \)

Leider habe ich absoult keine Ahnung wie ich das machen soll.

Mein Ansatz:

\( M_{2} \)=(-2,0]∪(-2,1)

Comments

Sind das reelle oder ganze Zahlen in der Menge? Für \(M\subset \mathbb{R}\) wäre \(M_2=(-2,\;0]\cup \dots \cup (-2,\;0.\bar{9}]\). Für \(M\subset \mathbb{Z}\) wäre es aber \(M_2=(-2,\;0]\), weil 1 nicht im Intervall mit eingeschlossen ist.

Answer 1

Hallo,

ich glaube du solltest hier mit den \(\epsilon\)-Umgebungen bzw. -Bällen \(B_{\epsilon}(x)\) am besten zurecht kommen.

Hier musst du eigentlich nur mit den Definitionen arbeiten. Mehr ist es nicht.

Die Lösung ist folgende:

- \(M_2\) hat ein Infimum bei \(x=-2\) für alle \(r \in [0,1)\)

- \(M_2\) hat ein Maximum für FESTES \(r \in [0,1)\), nämlich \(r\) selbst

- \(M_2\) hat ein Supremum in \(r \in [0,1)\) für BELIEBIGES \(r\)

Den Beweis überlasse ich dir. Dieser ist aber nicht sehr schwer und bedarf keiner technischen Vorüberlegungen.