Question

Berechne die Teleskopsumme:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(\frac{1}{k+2}+\frac{2}{k}} \) ) - \( \sum\limits_{k=2}^{n+1}{\frac{3}{k}} \)

Ich habe für n=1 bis n=5 eingesetzt, konnte jedoch keine zusammenhänge feststellen.

Für einen Ansatz bzw. Lösung wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

\( \frac{1}{3} \) +\( \frac{2}{1} \) -\( \frac{3}{2} \)

+\( \frac{1}{4} \) +\( \frac{2}{2} \) -\( \frac{3}{3} \)

+\( \frac{1}{5} \) +\( \frac{2}{3} \) -\( \frac{3}{4} \)

+\( \frac{1}{6} \) +\( \frac{2}{4} \) -\( \frac{3}{5} \)

Verfolge die drei roten Summanden.

Verfolge die drei grünen Summannden.

Comments

In der Zweiten Summe läuft ja bei einem n=2 die Summe von 2 bis 3 Sprich bei der Zweiten Zeile müsste man doch \( \frac{3}{2} \) addieren oder liege ich Falsch

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Ja, du liegst falsch.

Hier wird nirgendwo 3/2 addiert, weil keiner der addierten Brüche den Zähler 3 hat.

Der Zähler 3 steht in jedem Bruch, der SUBTRAHIERT wird.

Der ganz zuerst (und in meiner ersten Zeile stehende) subtrahierte Bruch heißt 3/2, weil der Zähler 3 ist und die Nenner der subtrahierten Brüche mit k=2 beginnen.

In der zweiten Zeile hat dieser Bruch bereits den Nenner 3.

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Oh habe mich verguckt, natürlich haben Sie recht. Ich bedanke mich rechtherzlich.