Wie genau macht man das?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich komme nicht mehr weiter.
Die Aufgabe ist: Es sei f: ℕ₀→2^ℕo^. für jedes x ∈ℕ₀ gilt f(x+2)=f(x+1)\f(x). Man muss zeigen, dass f(x+3)={} ist.
Wie genau macht man das?

Problem/Ansatz:

Mein Anatz war, das f(x+1) alle natürlichen Zahlen sind, f(x) sind alle ungeraden Zahlen und f(x+2) sind alle geraden Zahlen. So wäre die erste Aussage erfüllt. Aber so kann ich das ja glaube ich mal nicht wirklich beweisen oder reicht es einfach so ein Beispiel zu zeigen?

Comments

Gibt es irgendeine Aussage zu $h(x)$?

Man muss zeigen, dass f(x+3)={} ist.

Fehlt da was zwischen den $\{\}$ oder soll das wirklich die leere Menge sein?

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Ich meinte f(x) statt h(x) .

Mit{} meinte ich auch die leere Menge.

Hast du vielleicht irgendeine Idee? Ich bin echt ratlos.

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Na ja - wenn man z.B. schlicht  $f(x)=1$, $\forall x$ setzt, dann ist $$f(x+2) = \frac{f(x+1)}{f(x)}$$ immer erfüllt. Das wäre eine triviale Lösung. Aber dann ist $f(x+3) \ne \{\}$!

Was bedeutet denn das $\mathbb N_0 \to 2^{\mathbb N}o$ ?

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Es geht hier um Mengen, dass heißt, das f(x) eine Menge ist.

ℕ₀→2^ℕ0     bedeutet, dass ja x Element ℕ₀ ist und 2^ℕ0  sind alle Teilmengen von ℕ₀ Also zB. {1,2,3}oder{1} oder{1,2,3,4,5,.....}

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$2^{\mathbb{N}_0}=\mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$

Answer 1

Hallo Tim,

Ok - dann hatte ich das ja völlig missverstanden.

Mal angenommen $f(0) = \{1,2,3\}$ und $f(1)= \{4,5,6\}$ dann wäre doch $$f(2) = f(1) \backslash f(0) = f(1)$$da beide Mengen $f(0)$ und $f(1)$ disjunkt sind, d.h. die Schnittmenge leer ist. Folglich ist dann $$f(3) = f(2) \backslash f(1) = \{\}$$ Allgemein kann man das doch so ausdrücken

Es gibt drei Mengen $A$ , $B$ und $C$ mit $A,B,C \in \mathcal P(\mathbb N_0)$ und der Eigenschaft, dass sie paarweise disjunkt sind. Dann setze ich $$\begin{aligned} f(0) &= A \cup B \\ f(1) &= B \cup C\end{aligned}$$So dass $f(0) \cap f(1) = B$ ist. Dann ist doch$$\begin{aligned} f(2) &= f(1) \backslash f(0) = C \\ f(3) &= f(2) \backslash f(1) = \{\} \\ f(4) &= f(3) \backslash f(2) = \{\} \quad \text{usw.}\end{aligned}$$womit gezeigt ist, dass immer $f(x+3) = \{\}$ gilt.

Comments

Hi Werner,

Kann man das so rechnen mit Mengen, weil f(1)\f(2) ist ja nicht das mathematische "geteilt" gemeint, sondern das von der Mengenlehre als f(1) ohne f(2)?

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Ja - ich denke ich habe Deine Frage jetzt verstanden. Ich habe die Antwort neu geschrieben.

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Ich glaube ich habe es jetzt verstanden, vielen Dank