Hallo,
schreib doch die Addition mal hin: $$x1x_d + yzzy_d = abcba_d$$ jedes Zeichen steht für eine Ziffer im Dezimalsystem. Wenn man eine 4-stellige Zahl mit einer 3-stelligen addiert, kann nur dann eine 5-stellige heraus kommen, wenn die 4-stellige schon mit einer 9 beginnt - ist klar oder? Weil bei 8 oder weniger wäre die Differenz zu 10000 wiederum 4-stellig.
Umgekehrt beginnt das Ergebnis mit einer 1, weil weiter kommt man nicht - also haben wir schon mal:$$x1x_d + 9zz9_d = 1bcb1_d$$Welche Zahl muss man zu 9 addieren, damit im Ergebnis hinten eine 1 steht?$$212_d + 9zz9_d = 1bcb1_d$$Und nun muss \(z\) größer als 7 sein, damit man über die 10000 kommt. Bleiben für \(z\) nur 8 oder 9. Das ist schnell ausprobiert:$$212_d + 9889_d = 10101_d$$
Nachtrag:
Ich vermute, dass es zwei weitere Lösungen gibt, wenn die 1 nicht vorgegeben ist.
Ja - die ist ja anscheinend nachträglich auf das Papier geschrieben worden! Ersetze ich also die 1 durch ein großes \(X\). Dann komme ich mit den obigen Überlegungen bis$$2X2_d + 9zz9_d = 1bcb1_d$$Die größtes 3-stellige Zahl ist 999. Und die größte 4-stellige 9999. Die Summe der beiden ist $$999 + 9999 = 10998$$Da das Ergebnis 5-stellig ist, also \(\ge 10000\), folgt daraus, dass \(b=0\) sein muss. Dann sind wir bei $$2X2_d + 9zz9_d = 10c01_d$$Das schreibe ich mal ausführlich hin und rechne das durch$$\begin{aligned}202 + 10X + 9009 + 110z &= 10001 + 100c \\10X + 110z &= 790 + 100c &&|\, \div 10 \\X + 11z &= 79 + 10c && | \, \text{mod}\, 10\\X + z &\equiv 9 \mod 10 \\X + 11z &= 79 + 10c &&|\, - (X + z= 9) \\10 z &= 70 + 10 c &&|\, \div 10 \\z &= 7 + c \end{aligned}$$An der Stelle mit \(X + z \equiv 9 \mod 10\) kann man davon ausgehen, dass auch \(X + z = 9\) gilt, da es keine zwei Dezimalziffern gibt, deren Summe \(=19\) ist! Daher konnte ich in der darauf folgenden Zeile auch die 9 subtrahieren.
\(b=0\) und für die verbleibenden drei unbekannten Ziffern liegen zwei Gleichungen vor. Mit den üblichen Mechanismen komme ich da auf$$\begin{pmatrix} X\\ c\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\\ -7\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} z $$Und da jede Unbekannte eine Ziffer sein muss, bleiben tatsächlich drei Lösungen:$$ \begin{pmatrix} X\\ c\\ z\end{pmatrix} : \quad \mathbb L = \left\{ \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 7\end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 8\end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 9\end{pmatrix} \right\}$$bzw. ausgeschrieben $$222 + 9779 = 10001 \\ 212 + 9889 = 10101 \\ 202 + 9999 = 10201$$
