Dezimalzahlen addieren palindrom

Question

Aufgabe:

Hallo, noch eine andere komplizierte Frage für mich.

Gesucht sind Palindrom zahlen.

Aufgabe:

        - 1 -

+      - - - -            3 palindron plus 4 palindron

_____________   sollen zu 5 palindron zahlen

=    - - - - -             palindron Zahlen addiert werden

Problem/Ansatz:

Überall :(())

Comments

Kannst du bitte die Aufgabe im Originaltext aufschreiben?

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Text erkannt:

Palindrom-Addition
Palindrom-Zahlen sind Zahlen, deren Wert sich nicht ändert, wenn die einzelnen Ziffern der Zahl von hinten nach vorne gelesen werden. Ein Beispiel ist die Zahl 112020211 .

Heute suchen wir besondere Palindrome, nämlich dreistellige, die in Summe mit einem vierstelligen Palindrom ein fünfstelliges ergeben.
Dreistelliges Palindrom
$+$ Vierstelliges Palindrom
$+$
$=$ Fünfstelliges Palindrom
Insgesamt gibt es drei Lösungen zu dieser Aufgabenstellung. Ergänze diese.

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Diese Aufgabe ist für Schüler vorgesehen zum Knobeln und Rätseln (PdM November 2020, Klasse 5-7).

Wenn Eltern das nicht selbst lösen können und hier Hilfe im Internet suchen, ist das eigentlich schon ein Trauerspiel.

Was haben Sie davon, wenn ihr Kind nun die richtige Lösung in der Schule abgibt?

Das ist doch nicht fair gegenüber den anderen Kindern, die das versuchen selbst zu lösen.

Bitte überlegen Sie sich das doch mal, bevor Sie zukünftig solche Aktionen unternehmen.

Answer 1

Hallo,

schreib doch die Addition mal hin: $$x1x_d + yzzy_d = abcba_d$$ jedes Zeichen steht für eine Ziffer im Dezimalsystem. Wenn man eine 4-stellige Zahl mit einer 3-stelligen addiert, kann nur dann eine 5-stellige heraus kommen, wenn die 4-stellige schon mit einer 9 beginnt - ist klar oder? Weil bei 8 oder weniger wäre die Differenz zu 10000 wiederum 4-stellig.

Umgekehrt beginnt das Ergebnis mit einer 1, weil weiter kommt man nicht - also haben wir schon mal:$$x1x_d + 9zz9_d = 1bcb1_d$$Welche Zahl muss man zu 9 addieren, damit im Ergebnis hinten eine 1 steht?$$212_d + 9zz9_d = 1bcb1_d$$Und nun muss $z$ größer als 7 sein, damit man über die 10000 kommt. Bleiben für $z$ nur 8 oder 9. Das ist schnell ausprobiert:$$212_d + 9889_d = 10101_d$$

Nachtrag:

Ich vermute, dass es zwei weitere Lösungen gibt, wenn die 1 nicht vorgegeben ist.

Ja - die ist ja anscheinend nachträglich auf das Papier geschrieben worden! Ersetze ich also die 1 durch ein großes $X$. Dann komme ich mit den obigen Überlegungen bis$$2X2_d + 9zz9_d = 1bcb1_d$$Die größtes 3-stellige Zahl ist 999. Und die größte 4-stellige 9999. Die Summe der beiden ist $$999 + 9999 = 10998$$Da das Ergebnis 5-stellig ist, also $\ge 10000$, folgt daraus, dass $b=0$ sein muss. Dann sind wir bei $$2X2_d + 9zz9_d = 10c01_d$$Das schreibe ich mal ausführlich hin und rechne das durch$$\begin{aligned}202 + 10X + 9009 + 110z &= 10001 + 100c \\10X + 110z &= 790 + 100c &&|\, \div 10 \\X + 11z &= 79 + 10c && | \, \text{mod}\, 10\\X + z &\equiv 9 \mod 10 \\X + 11z &= 79 + 10c &&|\, - (X + z= 9) \\10 z &= 70 + 10 c &&|\, \div 10 \\z &= 7 + c \end{aligned}$$An der Stelle mit $X + z \equiv 9 \mod 10$ kann man davon ausgehen, dass auch $X + z = 9$ gilt, da es keine zwei Dezimalziffern gibt, deren Summe $=19$ ist! Daher konnte ich in der darauf folgenden Zeile auch die 9 subtrahieren.

$b=0$ und für die verbleibenden drei unbekannten Ziffern liegen zwei Gleichungen vor. Mit den üblichen Mechanismen komme ich da auf$$\begin{pmatrix} X\\ c\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\\ -7\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} z$$Und da jede Unbekannte eine Ziffer sein muss, bleiben tatsächlich drei Lösungen:$$\begin{pmatrix} X\\ c\\ z\end{pmatrix} : \quad \mathbb L = \left\{ \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 7\end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 8\end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0\\ 2\\ 9\end{pmatrix} \right\}$$bzw. ausgeschrieben $$222 + 9779 = 10001 \\ 212 + 9889 = 10101 \\ 202 + 9999 = 10201$$

Comments

Jetzt habe ich gerade Deinen Kommentar unter der Frage gelesen. Es soll noch zwei weitere Lösungen geben !? Ich gehe mal davon aus, dass führende 0'en nicht erlaubt sind. Sonst wäre es ja keine 3- oder 4-stellige Zahl oder?

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Ich vermute, dass es zwei weitere Lösungen gibt, wenn die 1 nicht vorgegeben ist.

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Ja stimmt, so wie es auf dem Bild steht :)

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Klasse wie du es lösen kannst! Hut ab! Aber verstehen ist echt schwierig!

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Hut ab!

ich habe die Antwort erweitert. Es gibt tatsächlich drei Lösungen, wenn die 1 nicht vorgegeben ist.

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Aber verstehen ist echt schwierig!

Dann wird es wohl mit meiner erweiterten Antwort noch schwieriger. Wenn Du Fragen dazu hast, so melde Dich bitte.

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Ja gerne, einfach wenn du mal Zeit und lust hast mir eine ausführliche Erklärung zukommen lassen vielleicht;)

Ja es gibt drei lösungen aber ist bestimmt nicht einfach zu lösen oder?

VLG Mathe6

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Ja es gibt drei lösungen aber ist bestimmt nicht einfach zu lösen oder?

.. hast Du die Erweiterung meiner Antwort noch nicht gelesen ?? (s.o.)

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Doch habe ich aber dachte es kann vielleicht was einfacheres geben für die Verständigung.

Aber ist kein Problem ich kämpfe mich irgendwie durch ;)