Prüfen, ob eine Dichtefunktion vorliegt

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob eine Dichtefunktion vorliegt und rechnen Sie ggf. Erwartungswert und Varianz.

f(x)= \( \frac{x}{\sqrt{2+x2}} \)

mit 0<x<\( \sqrt{2} \)

Problem/Ansatz:

Dichtefunktion hat zwei Eigenschaften, die erfüllt werden müssen.

Kann die Gleichung jedoch nicht nach 0 auflösen , der Nenner macht mir Probleme.

Als Tipp wurde mir folgendes gegeben:

Substituieren Sie mit z=2+x² 

Answer 1

Aloha :)

Du musst prüfen, ob die Fläche unter der Kurve \(=1\) ist oder nicht.

$$\int\limits_0^{\sqrt2}\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}dx=\int\limits_0^{\sqrt2}\frac{2x}{2\sqrt{2+x^2}}dx=\left[\sqrt{2+x^2}\right]_0^{\sqrt2}=\sqrt4-\sqrt2=2-\sqrt2\ne1$$

Es liegt keine Dichte-Funktion vor.

Comments

erstmal danke für die schnelle Antwort.

Kannst du eventuell den 2. auf den 3. Schritt erklären? Wie ist das nach dem integrieren zustande gekommen ? Wie hast den Zähler weggekriegt und was ist mit der 2 vor der wurzel geschehen ..?

---

Gerne erkläre ich die Integration etwas ausführlicher. Mit der Substitutions-Regel würde man das Integral in etwa so lösen:$$\int\limits_0^{\sqrt2}\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}dx=\left[\begin{array}{l}u\,:\!=2+x^2\\\frac{du}{dx}=2x\Leftrightarrow dx=\frac{du}{2x}\\u(0)=2\,;\,u(\sqrt{2})=4\end{array}\right]=\int\limits_2^4\frac{x}{\sqrt{u}}\,\frac{du}{2x}$$$$=\int\limits_2^4\frac{1}{2\sqrt u}\,du=\int\limits_2^4\frac{1}{2}u^{-1/2}\,du=\left[u^{1/2}\right]_0^4=\left[\sqrt u\right]_2^4=2-\sqrt2$$Ich habe das etwas kürzer gemacht. Wenn du \(\sqrt{2+x^2}\) mit der Kettenregel ableitest, bekommst du:$$\left(\sqrt{2+x^2}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{2+x^2}}\cdot2x=\frac{2x}{2\sqrt{2+x^2}}$$Ich habe den Bruch unter dem Integral mit \(2\) erweitert, damit man das besser "sehen" und das Integral sofort hinschreiben kann. Dadurch wollte ich mir die Substitution sparen ;)