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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion f(x)f(x) an der Stelle x0x_0 gilt: f(x0)±ε=f(x0±εf(x0))f(x_0)\pm \varepsilon = f\left(\frac{x_0\pm\varepsilon}{f'(x_0)}\right)


Problem/Ansatz:

Dachte erst ich könnte das durch Umformung der rechten Seite zeigen, aber irgendwie kommt am Ende etwas der Art f(x0±ε)=f(x0)±εf(x_0 \pm\varepsilon) = f(x_0)\pm \varepsilon dabei raus. Keine Ahnung ob das überhaupt ansatzweise richtig ist, gefühlt nämlich nicht.

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Die Aussage gilt offensichtlich nicht, wie du leicht durch

        f(x) = 2x, x0≠0

herausfinden kannst.

Entschuldige habe die Frage noch ergänzt - die o.g. Aussage gilt für ε0\varepsilon \to 0

Wenn die Funktion nur als stetig bekannt ist, wird es

sowas wie f ' ( xo ) nicht unbedingt geben.

Wenn ϵ=0 \epsilon = 0 gilt, dann soll auch f(x0)=f(x0f(x0)) f(x_0) = f \left( \frac{ x_0 } { f'(x_0) } \right) gelten, was für f(x)=2x f(x) = 2x , x0 x \ne 0 nachweislich falsch ist. Denn das würde bedeuten

2x0=x0 2 x_0 = x_0

Zumindest für viele Werte von xo ist das falsch.

Gerade gesehen, dass die Aufgabenstellung falsch aufgeschrieben wurde es geht um diese Äquivalenz:

Zeigen Sie, dass für eine stetige Funktion f(x)f(x) an der Stelle x0x_0 gilt: f(x0)±ε=f(x0±εf(x0))f(x_0)\pm\varepsilon = f(x_0\pm\frac{\varepsilon}{f\prime(x_0)}) wenn ε0\varepsilon\to 0

Das ist keine Äquivalenz, das ist eine Implikation.

1 Antwort

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Beste Antwort

Taylorentwicklung 1. Ordnung ergibt

f(x0±ϵf(x0))f(x0)±f(x0)ϵf(x0) f \left( x_0 \pm \frac{ \epsilon }{ f'(x_0) } \right) \approx f(x_0) \pm f'(x_0) \frac{ \epsilon }{ f'(x_0) }

Allerdings muss die Funktion nicht nur stetig sein, sondern auch differenzierbar in x0 x_0 und es muss gelten f(x0)0 f(x_0) \ne 0

Avatar von 39 k

Ja, komplett richtig. Hätte noch eine Frage: Wie kommt man darauf eine Taylorentwicklung zu machen?

Immer wenn man eine Funktion der Form f(x±Δ) f(x \pm \Delta) näherungsweise berechnen soll, kommt Taylorreihe in Frage. Bei Dir ist Δ=ϵf(x0) \Delta = \frac{ \epsilon } { f'(x_0) }

Danke dir vielmals! Merke ich mir.

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