Kurvendiskussion tanh(x) mit e-Funktion

Question

Folgende Funktion soll betrachtet werden:

$f(x)=\tanh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$


(i) maximalen Definitionsbereich finden

(ii) Symmetrieeigenschaften der Funktion untersuchen.

(iii) Nullstellen berechnen

(iv) Grenzwerte für x → ±∞ berechnen.

(v) maximalen Monotoniebereiche angeben

(vi) Extrema finden.

(vii) Handelt es sich bei diesen um Maxima oder Minima? Welche Extrema sind lokal, welche global?

(viii) Wendepunkte sowie maximale Bereiche, in denen der Graph konkav bzw. konvex ist berechnen.

(ix) Anfertigung einer Skizze der Funktion mit Hilfe der bereits berechneten charakteristischen Punkte, ohne weitere Werte (z.B. mit dem Taschenrechner).

Unten habe ich Lösungsansätze verfasst.



Lösungsansätze zu:

(i) DB: x∈ℝ

(ii) keine Symmetrie (z.B. die Funktion f(x)=x² wäre symmetrisch)

(iii) Nullstellen: x₀=0

(iv) Grenzwerte:

$f(x)=\tanh (x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$
$\lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=\pm \infty$

Korrektur: oberer Grenzwert bei +1 und unterer Grenzwert bei -1 (siehe Skizze)
(v) -∞<x<∞

-1<x<1

von 0 bis -1 monoton fallend

von 0 bis 1 monoton steigend

Comments

Dein Graph zeigt dir aber die Punktsymmetrie der tanh-Funktion zum Ursprung.

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Stimmt du hast Recht! Ich habe eine ungerade Funktion gemeint. Es gibt gerade sowie ungerade Funktionen. Und bezüglich der Symmetrie ist die Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (0|0). Danke für den Hinweis (Daumen hoch). Wie sehen meine anderen Ansätze aus? Ich habe zum aller ersten Mal eine Hyperbolicus-Funktion. Ich weiß nur, dass eine Hyperbolicus-Funktion die Umkehrung einer Tangensfunktion ist (auch Sinus-, Cosinus- und Cotangensfunktion).

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"Ich weiß nur, dass eine Hyperbolicus-Funktion die Umkehrung einer Tangensfunktion ist."

Ahm. Eigentlich hat Tangens-Hyperbolicus nichts mit dem Tangens zu tun. Die Umkehrung des Tangens wäre der Arkus-Tangens (arctan).

Die Hyperpelfunktionen wurden glaube ich nur in Anlehnung ihrer Eigenschaften nach den Trigonometrischen Funktionen benannt.

Weitere Informationen: https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion

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Richtig. Ich habe eine Hyperbolicustangens- mit einer Arcustangensfunktion verwechselt. Ich weiß absolut verschieden. Ich habe gedacht das es zur Arcustangensfunktion gehört, da diese Gebiete sehr neu für mich sind. Das gute daran ist, dass ich es in Zukunft nicht mehr verwechseln kann, man lernt nie aus! :)

Danke für den Hinweis!

Answer 1

Ich habe die Aufgabe mal unter folgendem Link bearbeitet:

https://docs.google.com/document/d/1EdQjk7bRak0eHcynjM0uClY_9ZbCeRaQ…

Kurvendiskussion: f(x) = tanh(x)

 

Funktion

 

f(x) = tanh(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) = (e^2·x - 1)/(e^2·x + 1)

 

(i) maximalen Definitionsbereich finden.

 

D = R

 

Der Nenner darf nur nicht 0 werden. Da die e-Funktion aber immer > 0 ist, kann der Nenner hier nie null werden.

 

(ii) Symmetrieeigenschaften der Funktion untersuchen.

 

f(-x) = (e^-x - e^x) / (e^-x + e^x) = -(e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) = - f(x)

Hier liegt eine Punktsymmetrie vor

 

(iii) Nullstellen berechnen.

 

(e^x - e^-x) = 0
e^x - 1/e^x = 0

e^2·x - 1 = 0

e^2·x = 1

x = 0

 

(iv) Grenzwerte für x → ± ∞ berechnen.

 

lim (x → ∞) (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) = 1

lim (x → -∞) (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) = -1

 

(v) maximalen Monotoniebereiche angeben

 

f(x) = (e^2·x - 1)/(e^2·x + 1)

f'(x) = 4·e^2·x/(e^2·x + 1)²

 

Zähler und Nenner sind immer positiv. Dadurch ist die Funktion in ganz D monoton steigend.

 

(vi) Extrema finden. 

 

f'(x) = 4·e^2·x/(e^2·x + 1)² = 0

 

Der Zähler wird nicht 0. Damit gibt es keine lokalen Extrema. Globale Extrema an die sich die Funktion annähert sind danach die Grenzwerte -1 und 1.

 

(vii) Handelt es sich bei diesen um Maxima oder Minima? Welche Extrema sind lokal, welche global?

 

Der Grenzwert -1 ist ein Minimum der Grenzwert 1 ist ein Maximum.

 

(viii) Wendepunkte sowie maximale Bereiche, in denen der Graph konkav bzw. konvex ist berechnen.

 

f''(x) = 8·e^2·x·(1 - e^2·x)/(e^2·x + 1)³ = 0

1 - e^2·x = 0

e^2·x = 1

x = 0

 

Wendepunkt W(0, 0)

 

Für x > 0 ist die Funktion konkav

Für x < 0 ist die Funktion konvex

 

(ix) Anfertigung einer Skizze der Funktion mit Hilfe der bereits berechneten charakteristischen Punkte, ohne weitere Werte (z.B. mit dem Taschenrechner).

Comments

Hi Mathecoach,

ne Frage aus Neugierde.

Kann ich nen globales Extremum angeben, wenn ich nur nen Grenzwert habe? Der Grenzwert selbst kann es ja nicht sein, den erreiche ich nicht. Auch sonst kann ich nichts angeben, da wenn ich vermeintlich ein Extremum finde, gibt es auf jeden Fall noch ein anderes?!

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Ja. So ganz genau wie man das mathematisch formuliert weiß ich auch nicht.

-1 und +1 sind auf jeden Fall eine untere und obere Schranke der Funktion. Dieser Grenzwerte als Maxima oder Minima zu bezeichnen ist sicher mathematisch nicht korrekt. Aber ich wüßte auch nicht wie man das besser schreiben kann.

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Ah ok, dachte Du wärst eventuell einer Konvention gefolgt.

Ich habe einfach kein globales (bzw. lokales) Extremum angegeben. Dachte es gibt keins...

Schranken sind ja keine Extrema?! Da müssts dann schon en Supremum/Infimum sein?!

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Das sehe ich eigentlich genau wie du. Daher habe ich auch immer das Wort Grenzwert dabei stehen gelassen. Weil der Grenzwert ja auch der Wert ist der nicht erreicht wird. Mathematisch ist das also sicher unsauber. Ich hoffe umgangssprachlich kann man das denke ich so stehen lassen.

Vielleicht kann der Fragesteller das Problem mal mit seinem Lehrer/Dozent/Prof. klären. Es würde mich auch sehr interessieren und gibt vielleicht Bonuspunkte :)

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Ja, das mit "Grenzwert" habe ich bemerkt. Ich denke damit ist klar, dass man sich Gedanken gemacht hat. Bin aber ebenfalls neugierig.

Danke für die Ausführungen :).

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Hallo Der_Mathecoach und Unknown,

vielen Dank für euren schnellen Antworten! Ich habe mir jeden Schritt nochmals angesehen und habe es verstanden. Ich hätte nicht gedacht, dass man die Aufgabe noch vereinfachen kann. Man kann die beiden "x" zusammenfassen und ein e-Term wird zu 1 bzw. -1. Für eure Bemühung erhaltet ihr einen Punkt! (Daumen hoch) Ich werde meinen Prof. mal fragen und werde euch beiden darüber informieren. Ich wünsche euch noch einen schönen Abend bis dann

  :)

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Ja, das wäre cool, wenn Du mal nachfragst. Könntest Du die Antwort dann auch bei mir formulieren? Dann erscheint eine Benachrichtigung und ich übersehe es nicht :).


Danke und auch noch nen schönen Abend!

Answer 2

Hi,

(ii) Punktsymmetrie zum Ursprung

(v) Wie kommste auf das Deinige? Das ist hier generell steigend! Die Ableitung ist immer >0! Ist also sogar streng monoton

(vi) f'(x) = 1/cosh(x)²

Es gibt dafür keine Nullstellen -> Keine Extrema

(vii) siehe (vi)

(viii) f''(x) = (-2tanh(x))/(cosh(x))²

--> Für x = 0 ist f''(x) = 0. Das ist eine Wendestelle (bei Bedarf mit f'''(x) überprüfen).

Der Wendepunkt liegt bei W(0|0).

Damit hast Du einmal konvex (f''(x)>0) für -∞>x>0 und

konkav (f''(x)<0) für 0>x>∞


Grüße