Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x0 exakt.

Question

Hi, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen.

Bestimmen Sie die lokale Änderungsrate von f an der Stelle x₀ exakt.

_{a) f(x) = 0,5 x}² _{, x₀=1}

_{b) f(x) = 4x, x₀=2}

_{c) f(x) = 4-x}²_{,  x₀= 2} 

Comments

Habt ihr schon Ableitungen durchgenommen oder soll das mit der h-Methode berechnet werden?

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wir haben dass mit dieser formel gemacht:
lim f(x) - f(xo) / x-x0

Answer 1

$$f(x)=ax^n$$$$f'(x)=n*ax^{n-1}$$$$f(x)=g(x)+h(x)$$$$f'(x)=g'(x)+h'(x)$$

a)

$$f(x) = 0,5 x^2 , x₀=1$$$$f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} 0,5*\frac{(x+h)^2-h^2)}{h} =$$$$\lim\limits_{h\to0}0,5* \frac{2xh+h^2}{h} =$$$$\lim\limits_{h\to0}0,5* (2x+h) =x$$$$f'(1)=1$$

b)

$$f(x) = 4x, x₀=2$$

$$f'(x)=4$$

$$f'(2)=4$$

c)

$$f(x) = 4-x^2, x₀= 2$$

$$f'(x)= \lim\limits_{h\to0} \frac{4-(x+h)^2-(4-x^2)}{h}=$$

$$f'(x)= \lim\limits_{h\to0}\frac{-2xh-h^2}{h}=$$

$$f'(x)= \lim\limits_{h\to0} -2x-h=-2x$$

$$f'(2)=-4$$

Comments

aber muss man das nicht mit limes machen<

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Wenn dieser Zusammenhang nich nicht gezeigt wurde dann hast du recht.

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limes wird bei der h-Methode angewandt:

$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Sonst einfach x₀ in die 1. Ableitung einsetzen und berechnen.

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Gut, dann habe ich es jetzt für deine drei Aufgaben mit h→0 gemacht .

Answer 2

lim f(x) - f(xo) / x-x0
Dies ist schon einmal falsch. Die Klammerung fehlt
lim ( f(x) - f(xo) ) / ( x-x0 )
dann fehlt
lim x -> x0   [ ( f(x) - f(xo) ) / ( x-x0 ) ]
Was gelesen wird x geht gegen x0

Einfacher ist die h-Methode, wobei h die Differenz
zwischen dem Punkt x und x0 ist
P1 ( x0+ h | f ( x0 + h ) )
P2 ( x0 | f ( x0 )
c) f(x) = 4-x², x₀= 2
Steigungsdreieck
( f ( x0 + h ) - f ( x0 ) ) / ( x0 + h - x0 )
( 4 - ( x0 + h )² - ( 4 - x0² ) ) / h
( 4 - ( x0 ² + 2 * x0 * h + h² )  - ( 4 - x0² ) ) / h
( 4 - x0 ² - 2 * x0 * h - h² - 4 + x0² ) / h
( - 2 * x0 * h - h²  ) / h
h * ( -2 * x0 - h ) / h
-2 * x0 - h
lim h -> 0
- 2 * x0  ( x0 = 2 )
-2 * 2 = -4
f ´( 4 ) = - 4

Comments

Ob

$$lim (f(x) - f(x_0)) /( x-x_0)$$

oder

$$lim( f(x_0+h) - f(x_0) )/( x_0+h-x_0)=$$

$$lim( f(x_0+h) - f(x_0)) /( h)$$

läuft doch auf das Gleiche raus.

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Natürlich ist das Ergebnis daselbe.
Ich schreibe meine Antworten aber für
die Fragesteller. Vielleicht gefällt dem
Fragesteller die h-Methode ja besser
als die in der Frage angegebene Methode.