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Woran erkenne ich, ob ein Graph durch den Koordinatenusrprung verläuft?


Problem/Ansatz:

Hallo!

Ich habe eine Matheaufgabe bekommen, die ich gar nicht verstehe. Es handelt sich hierbei um Funktionsscharen.

Die Funktion lautet: - 1/t mal x^2 + 2x ( ich musste für t 1,2 und 4 einsetzen)

Aber ich muss zeigen, dass alle Graphen durch den Koordinatenursprung laufen. Wie soll ich das machen? Und ich kriege es auch nicht hin, die Hochpunkte in Abhängigkeit von t auszurechnen. Kann mir da jemand bitte helfen?

Danke und viele Grüße

von

3 Antworten

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Beste Antwort

ft(x) = - 1/t * ( x^2 + 2x)

Wenn du für x=0 einsetzt gibt es

ft(0) = - 1/t * ( 0^2 + 2*0)

     = - 1/t * 0   = 0

Also ergibt sich für x=0 immer auch y=0

und damit liegt der Punkt (0;0) immer auf dem Graphen.

Für die Hochpunkte betrachte ft ' (x) = - 1/t * ( 2x + 2)

==>  ft(x) = 0 <=> - 1/t * ( 2x + 2) = 0

                    <=>    2x + 2= 0    <=>   x = -1

Und ft ' ' (x) = - 1/t * 2 also ist auch   ft ' ' (-1) = - 1/t * 2 < 0

Somit gilt ft ' (-1) = 0 und   ft ' ' (-1) < 0  [denn t>0 ist wohl vorgegeben.]

und also ein Hochpunkt bei x=-1 .

Dessen y-Koordinate ist ft(-1) =  - 1/t * ( (-1)^2 + 2*(-1))

                                           =  - 1/t * ( 1 + (-2))

                                            =  - 1/t * ( -1)   =   1/t

Also sind die Hochpunkte alle H( -1 ; 1/t) und hängen also von t ab.

von 213 k 🚀

Vielen vielen Dank!

Sie wissen gar nicht, wie sehr sie mich gerettet haben, vor allem weil ich es endlich für meine klausur verstehe! Danke danke!!

Na dann wünsche ich einen guten Erfolg.

Hallo Emiliea,

unabhängig von der analytischen Erklärung solltest Du Dir auch ein Bild machen, wie die Graphen der Kurvenschar aussehen:

~plot~ -(x^2+2x)/1;-(x^2+2x)/2;-(x^2+2x)/4; ~plot~

Oben siehst Du die Kurven für \(t= \{1,\,2,\,4\}\). Man erkennt, dass alle Graphen durch die Punkte \((0|\,0)\) und \((-2|\,0)\) verlaufen. Und der Hochpunkt liegt immer genau in der Mitte zwischen diesen beiden Nullstellen - bei \(x=-1\)

Ohaa wie lieb das ist, dass noch so zu verdeutlichen. Vielen lieben Dank, sie wissen gar nicht was für eine Freude sie mir bereiten. Danke!!

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Setze für x =0 ein und wenn dann y=0, läuft der Graph durch den Ursprung.

von 8,9 k

Danke sehr jetzt verstehe ich endlich was mit x=0 setzen gemeint ist, wirklich vielen Dank!

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Der Nachweis dünkt mir recht einfach

f t ( x )=  - 1/t * x^2 + 2x | x ausklammern
f t ( x ) = x * ( - 1/t *  x + 2 )

Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
f t ( 0 ) = 0 * ( - 1/t * 0 + 2 ) = 0
Für alle t glit
( 0 | 0 )

Bei Bedarf nachfragen


von 105 k 🚀

Vielen Dank das ist sehr lieb!

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