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Aufgabe:


Überprüfe ob die folgende Menge beschränkt ist

M := {x−\( \frac{1}{x} \) | x∈R, x > 0}


Problem/Ansatz:

Ich setze für x = -1, -0.5, 0.5, 1 ein.

Dann bekomme ich L = {0, 1.5, -1.5, 0} raus.

Es gibt sowohl ein Supremum als auch ein infimum. D.H. ist die Menge nicht beschränkt.


Ist meine Rechnung so richtig?

von

2 Antworten

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Beste Antwort
Ich setze für x = -1, -0.5, 0.5, 1 ein.

In der Aufgabenstellung steht x > 0. Die Werte, die du für x = -1 und x=-0,5 bekommst sind also irrelevant.

Es gibt sowohl ein Supremum als auch ein infimum. D.H. ist die Menge nicht beschränkt.

Wenn es Supremum und Infimum geben würde, dann wäre die Menge durch diese beschränkt. Das Supremum ist ja die kleinste obere Schranke. Und Schranken beschränken halt nun mal.

Sei y ∈ ℝ.

Wenn die Ungleichung

       x + 1/x > y

eine Lösung für x hat, dann ist die Menge nicht nach oben beschränkt.

Wenn die Ungleichung

  x + 1/x < y

eine Lösung für x hat, dann ist die Menge nicht nach unten beschränkt.

Versuche, diese Ungleichungen zu lösen.

von 76 k 🚀
In der Aufgabenstellung steht x > 0. Die Werte, die du für x = -1 und x=-0,5 bekommst sind also irrelevant.

Das tut wirklich weh.. Das mir das nicht aufgefallen ist ^^


Sei y ∈ ℝ.

Wenn die Ungleichung

    x + 1/x > y

eine Lösung für x hat, dann ist die Menge nicht nach oben beschränkt.

Wenn die Ungleichung

  x + 1/x < y

eine Lösung für x hat, dann ist die Menge nicht nach unten beschränkt.

Versuche, diese Ungleichungen zu lösen.

Ich stehe gerade aber wirklich auf dem Schlauch. Wie mache ich das? Setze ich für x eine beliebige Zahl ein?

\(\begin{aligned} &  & x+\frac{1}{x} & =y &  & |\cdot x\\ & \iff & x^{2}+1 & =xy &  & |-1+xy\\ & \iff & x^{2}-xy & =-1 &  & |+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}\\ & \iff & x^{2}-xy+\left(\frac{y}{2}\right)^{2} & =\left(\frac{y}{2}\right)^{2}-1\\ & \iff & \left(x-\frac{y}{2}\right)^{2} & =\left(\frac{y}{2}\right)^{2}-1 &  & |\sqrt{\phantom{\square}}\\ & \iff & x-\frac{y}{2} & =\pm\sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^{2}-1} &  & |+\frac{y}{2}\\ & \iff & x & =\frac{y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^{2}-1} \end{aligned}\)

Ob \(x + \frac{1}{x} > y\) oder \(x + \frac{1}{x} < y\) ist, ändert sich also bei

        \(x_1 \coloneqq \frac{y}{2}-\sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^{2}-1}\)

und bei

      \(x_2 \coloneqq \frac{y}{2}+\sqrt{\left(\frac{y}{2}\right)^{2}-1}\).

N.B. \(x_1\leq x_2\).

\(\begin{aligned} &  & x+\frac{1}{x} & >y &  & |\cdot x\\ & \stackrel{x>0}{\iff} & x^{2}+1 & >xy &  & |-xy\\ & \iff & x^{2}-xy +1 & >0 \end{aligned}\)

Die Parabel der Funktion

        \(f(x) = x^{2}-xy +1\)

ist nach oben geöffent. Es gilt also

        \(x^{2}-xy+1>0\iff x<x_{1}\vee x>x_{2}\)

und somit

        \(x+\frac{1}{x} > y \iff x<x_{1}\vee x>x_{2}\)

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Hallo,

0 wäre das Infimum und gleichzeitig auch das Maximum. Denn wenn du für x =1 einsetzt bekommst dein Infimum raus also ist es nach unten beschränkt.

Wieso setzt du denn für x negative Zahlen ein x >0 also setzt dafür positive Zahlen ein .


Aber setz mal jetzt für x unendlich viele Zahlen ein und schau mal was mit x und 1/x passiert.

von

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