Substitutionsaufgabe für ein Integral

Question

es geht um folgende Aufgabe:

Berechne per Substitution folgendes Integral (a,b > 0):

$\int\limits_{a}^{b} x*ln(x^2) dx$

Existiert dieses Integral auch für a = 0 und b= 1?

Benötige leider Hilfe, könnte jemand helfen?

Answer 1

Text erkannt:

"Berechne per Substitution folgendes Integral $(a, b>0)^{n}$
Weg ohne Grenzen:
$\int x \cdot \ln \left(x^{2}\right) \cdot d x$
Substitution:
$\ln \left(x^{2}\right)=u$
$e^{\ln \left(x^{2}\right)}=e^{u}$
$x^{2}=e^{u}$
1.) $x_{1}=\sqrt{e^{u}}$
2.) $x_{2}=-\sqrt{e^{u}}$
$d x=\frac{e^{u}}{2 \cdot \sqrt{e^{u}}} \cdot d u$
$\int \sqrt{e^{u}} \cdot u \cdot \frac{e^{u}}{2 \cdot \sqrt{e^{u}}} \cdot d u=\frac{1}{2} \int u \cdot e^{u} \cdot d u=\frac{1}{2} \cdot\left[e^{u} \cdot(u-1)\right]+C$
Rücksubstitution:
$\left.\frac{1}{2} \cdot\left[e^{\ln \left(x^{2}\right)} \cdot\left(\ln \left(x^{2}\right)-1\right)\right]+C=\frac{1}{2} \cdot\left[x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}\right)-1\right)\right]+C$
$2.2 \ldots$
$\mathrm{mfG}$
Moliets

PS: " Existiert dieses Integral auch für a = 0 und b= 1? " →  a soll größer als 0 sein

Answer 2

∫ x·LN(x²) dx = 1/2·x²·LN(x²) - ∫ 1/2·x²·1/x²·2x dx

∫ x·LN(x²) dx = 1/2·x²·LN(x²) - ∫ x dx

∫ x·LN(x²) dx = 1/2·x²·LN(x²) - 1/2·x² + C

∫ x·LN(x²) dx = 1/2·x²·(LN(x²) - 1) + C

∫ (a bis b) x·LN(x²) dx = 1/2*b²·(LN(b²) - 1) - 1/2*a²·(LN(a²) - 1)