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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass \( x^{x}=\exp (x \ln x) \) zwischen 1 und 3 eine Stelle mit Ableitung 5 hat, ohne die Ableitung zu berechnen.


Meine Idee wäre gewesen eine Sekante durch die Funktion mit Steigung 5 zu finden, die zwischen 1 und 3 liegt damit ich dann weiter mit dem Mittelwertsatz argumentieren kann. Was sagt ihr?

von

Was sagt ihr?

2 × MWS + 1 × ZWS

@Gast hj2166

Magst du mir mal helfen? Ich verstehe nicht ganz warum die Funktion anders notiert worden war. Langt es nicht zu wissen, dass

f(x) = x^x
f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 27

Langt es nicht

Jetzt muss man nur noch die richtigen Schlüsse daraus ziehen.

Jetzt muss man nur noch die richtigen Schlüsse daraus ziehen.

Die Schlüsse sind nicht das Problem. Ich habe mich nur gewundert warum x^x als exp(x*ln(x)) umgeschrieben wird´, obwohl es nicht gebraucht wird..

blob.png

warum xx als exp(x*ln(x)) umgeschrieben wird

damit man leichter erkennt, dass f eine stetige Ableitung besitzt.

damit man leichter erkennt, dass f eine stetige Ableitung besitzt.

Vielen lieben Dank.

Habe hier selten solch einen interessanten Chat verfolgt.

1 Antwort

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Beste Antwort

f ( x ) = x^x

f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 27

Durchschnitt Steigung zwischen
1 und 2 = ( 1- 4 ) / ( 1- 2 ) = 3
2 und 3 = ( 4 - 27 ) / ( 2 - 3 ) = 23

Punkt ( x | f ( x ) )
Nächster Punkt mit h > 0
( x + h ) ^ ( x + h )
Es gilt
( x + h ) ^ ( x + h ) > ( x^x )
Der Funktionswert von f ( x + h ) ist stets größer
f ( x ) ohne Ausnahme
Die Funktion ist stets steigend
Irgendwann ist die Steigung auch 5
3 < 5 < 23

von 105 k 🚀

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