Surjektivität einer Matrix

Question

Hallo. Kann mir einer bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Gegeben sind b1, b2 ∈ R und das lineare Gleichungssystem für x1, x2 ∈ R

2x1 + x2 = b1,
1x−x=b2


Das lineare Gleichungssystem ist äquivalent zu:


Ax=b mit den Vektoren x= \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \)  und b= \( \begin{pmatrix} b1\\b2 \end{pmatrix} \)

und einer geeignet gewählten 2x2-Matrix A. Die Abbildung x → Ax ist die Multiplikation von A mit dem Vektor x.





Fragestellung:

Untersuchen Sie die Surjektivität der Abbildung ℝ² → ℝ², x → Ax mit der Matrix A =\( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) , wobei ℝ² die Menge aller reellwertigen Vektoren mit zwei Komponenten benennt.

Answer 1

Das ist die Frage, ob für jedes b die Gleichung A*x = b lösbar ist.

Da die Matrix A die Determinante -2 - 1 = -3 ≠ 0 hat, ist es so.

Du kannst das aber auch mittels Gauss-Algorithmus oder

durch Multiplikation mit der Inversen \( \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \) zeigen.

Comments

Danke für deine Antwort! Kannst du bitte noch aufführen, wieso das so ist?Wieso muss es denn ungleich 0 sein? :)

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Findest du z.B. dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel#Verallgemeinerung

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also ist in einem linearen GLS die Determinante immer ungleich 0? Und wie steht das mit der Subjektivität in Verbindung ?

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Die Determinante ist genau dann ungleich Null,

wenn das Gl.system genau eine Lösung hat. Und du

musst ja klären,

ob für jedes b die Gleichung A*x = b lösbar ist

(Das bedeutet hier "surjektiv")