Bestimmen Sie die algebraische Darstellung sowie die Exponentialdarstellung von a,

Question

Gegeben sei die komplexe Zahl a = 1 + √3i.

Bestimmen Sie die algebraische Darstellung sowie die Exponentialdarstellung von a,

Kann mir bitte jemand helfen, ich weiß nicht wie ich mit wurzel 3i umgehen soll bzw. was ich jetzt machen soll

Danke schon mal im Voraus

LG

Answer 1

Ist wohl schon in algebraischer Darstellung a = 1 + i*√3   ..

Betrag ist √( 1^2 + (√3)^2 ) = √4  = 2 

und Argument arctan ( (√3)   / 1 ) = π/3

Also a = 2*e^(i*π/3)  Expo-Darstellung

Comments

Warum ziehst du i aus der Wurzel?

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und Argument arctan ( (√3)  / 2 )≈0,7137

das ist falsch. Richtig ist: das Argument ist \(\arctan\left( \sqrt 3 / 1\right) = \frac\pi 3\)

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Kann man diesen "beste antwort"-button rückgängig machen? Das war eigentlich nur aus Versehen

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Bei dem Arg. hatte ich mich vertan. Wird korrigiert.

Answer 2

Hallo,

die algebraische Darstellung ist gegeben $$a = 1 + \sqrt 3 \, i$$Die Exponentialdarstellung ist allgemein \(r\cdot e^{\varphi i}\). \(r\) ist der Betrag $$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt 3)^2} = 2$$ und der Winkel ist $$\varphi = \arctan\left( \frac{\sqrt 3}{1} \right) = 60° = \frac \pi3$$Also ist $$a = 2 \cdot e^{\frac{\pi}{3} i}$$Bem.: bei komplexen Zahlen mit negativem Realteil muss man noch die Mehrdeutigkeit der Arkustangensfunktion berücksichtigen!

Comments

es lohnt sich immer, sich die Zahl in der komplexen Zeichenebene zu veranschaulichen:

Der rote Vektor stellt die komplexe Zahl \(a\) dar. Mit seiner realen und komplexen Komponente bildet \(a\) ein halbes gleichseitiges Dreieck.

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Vielen Dank!!

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Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen

a¯^6 * z = a^9

(↑konjugiert hoch 6)

Können Sie mir hier bitte auch helfen?

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Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen

a¯6 * z = a9

(↑konjugiert hoch 6)

Können Sie mir hier bitte auch helfen?

siehe meine Antwort hier.

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Und bei a * a¯ 

Da wird ja der exponent 0

0*i bleibt 0

e^0=1

Ist das Ergebnis dann 4?

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Und bei \(a \cdot \overline a\)
Da wird ja der exponent 0
0*i bleibt 0

ja - das ist in jedem Fall so, egal wleche komplexe Zahl \(a\) darstellt.

e⁰=1 
Ist das Ergebnis dann 4?

auch richtig - ist \(a = re^{\varphi i}\), so ist \(a \cdot \overline a = r^2\).

Auch hier gilt: zeichne es mal auf! bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen addieren sich ihre Winkel. Sind die Winkel im Betrag identisch, aber unterschiedlich im Vorzeichen, so bleibt als Winkel die 0 und folglich liegt das Ergbenis immer auf der reellen Achse.