Zeigen Sie Permutationen

Question

Aufgabe: Sei n ∈ N≥1 und M := {1, 2, . . . , n}. Eine
Permutation von M ist eine bijektive Abbildung M → M.
(1) Sei f : M → M eine Abbildung. Zeigen Sie
f ist eine Permutation ⇐⇒ f ist Injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
(2) Sei n ≥ 2. Wie viele Permutationen f von M gibt es, so dass
f(j) = j, für jedes j ∈ {1, . . . , n − 1}? Begründen Sie!
(3) Wie viele Permutationen f von M gibt es, so dass f(1) 6= 1?
Begründen Sie!
(4) Sei M = {1, 2, 3}. Wie viele Permutation f von M gibt es, so
dass f(m) 6= m, für jedes m ∈ M? Begründen Sie! (Sie heißen
fixpunktfreie Permutationen.)

Problem/Ansatz:

Hey Ich weiß es handelt sich um Permutation aber wie es weiter geht hab leider kein Plan :(

Meine Menge mit {\displaystyle n}n Elementen, dann ist eine {\displaystyle n}n-stellige Permutation (ohne Wiederholung) eine bijektive Abbildung



Da per Definition jede endliche Menge zu einer Menge der Form {1, 2, ..., n} gleichmächtig ist, kann man sich bei der mathematischen Betrachtung von Permutationen stets auf die ersten {\displaystyle n}n natürlichen Zahlen als Referenzmenge beschränken. Eine Permutation ist dann eine bijektive Abbildung

Mg

Dilara

Answer 1

die erste Aufgabe, wo

f ist eine Permutation \( \iff \) f ist Injektiv \( \iff \) f ist surjektiv

zu zeigen ist, ist schnell durch Anwenden von Definitionen und Sätzen aus der Analysis gemacht.

Zur besseren Übersicht schreibe ich für

(1) f ist eine Permutation,

(2) f ist injektiv,

(3) f ist surjektiv.

(1) \( \implies \) (2)

Dies folgt sofort aus der Definition. Denn eine Permutation ist eine Bijektion und damit per Definition auch injektiv und surjektiv.

(2) \( \implies \) (3)

Aus der Analysis sollte dir ein Satz/Lemma bekannt sein, dass besagt, dass eine endliche Abbildung genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist. Deine Menge M besteht hier aus n Elementen und ist damit endlich. Da nach Voraussetzung f injektiv ist, folgt nach dem obigen Satz sofort, dass f surjektiv ist.

(3) \( \implies \) (1)

Hier sei f nun surjektiv. Nach gleicher Argumentation wie eben ist f aber auch injektiv und damit bijektiv. Da f eine Abbildung von M nach M ist und bijektiv ist, folgt, dass f eine Permutation ist.

Zu den anderen Sachen kann ich dir gerade leider nichts sagen. Schau dir dazu aber mal die Subfakultät an. Könnte dir hier weiterhelfen.

Lg