Nachweisen, dass Funktion surjektiv und nicht injektiv ist für Abschnittsweise definierte Funktion

Question

Aufgabe:

Man zeige, dass
$$f:[-1,1] \longrightarrow\left[0, \frac{3}{2}\right], f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-(x+1)^{2} & \text { für }-1 \leq x \leq 0 \\ \frac{1}{2}+x & \text { für } \quad 0<x \leq 1 \end{array}\right.$$
surjektiv und nicht injektiv ist.

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird.$$f(-1)=1\;\;;\;\;f\left(\frac{1}{2}\right)=1\;\;\implies\;\;\text{nicht injektiv}$$

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

Für $x\in[-1;0]$ lautet die Funktion $f(x)=1-(x+1)^2$. Als Polynom ist sie stetig, nimmt also alle Funktionswerte zwischen $f(0)=0$ und $f(-1)=1$ an.

Für $x\in(0;1]$ lautet die Funktion $f(x)=\frac{1}{2}+x$. Auch das ist ein Polynom und daher stetig. Insbesondere nimmt die Funktion daher aller Werte zwischen $f(\frac{1}{2})=1$ und $f(1)=\frac{3}{2}$ an.

Insgesamt wird also jedes mögliche Zielelement aus der Wertemegne $[0;\frac{3}{2}]$ mindestens 1-mal erreicht, die Funktion ist daher surjektiv.