Zeigen Sie das die eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Auf der Menge R² definieren wir die Relation (x,y)∼(x′,y′):⇔y=y′ ∧ ∃a∈R:x′ =x+ay

(i) Zeigen Sie das die eine Äquivalenzrelation ist.

(ii) Ist die Menge R²/ ∼ endlich? Falls ja, geben Sie alle Elemente an. Falls nein, begründen Sie, warum dies nicht der Fall ist.

Bräuchte einen Ansatz, das ist mir irgendwie zu abstrakt.. :/

Answer 1

Bei (i) must du drei Eigenschaften zeigen: Reflexiv, Symmetrie und Transitivität. Ich mache mal die Reflexivität vor:

Sei $(x,y)\in \mathbb{R^2}$ beliebig.

Dann gilt $y=y$ und mit $a=0$ hat man $x=x+a\cdot y=x+0\cdot y=x$. Damit ist also für alle $(x,y)\in \mathbb{R^2}$ die Eigenschaft $(x,y)∼(x,y)$ erfüllt.

Und dieser Art und Weise kann man nun auch die zwei anderen Eigenschaften zeigen.