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Auf der Menge R2 definieren wir die Relation (x,y)∼(x′,y′):⇔y=y′ ∧ ∃a∈R:x′ =x+ay

(i) Zeigen Sie das die eine Äquivalenzrelation ist.

(ii) Ist die Menge R2/ ∼ endlich? Falls ja, geben Sie alle Elemente an. Falls nein, begründen Sie, warum dies nicht der Fall ist.

Bräuchte einen Ansatz, das ist mir irgendwie zu abstrakt.. :/

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Bei (i) must du drei Eigenschaften zeigen: Reflexiv, Symmetrie und Transitivität. Ich mache mal die Reflexivität vor:

Sei (x,y)R2(x,y)\in \mathbb{R^2} beliebig.

Dann gilt y=yy=y und mit a=0a=0 hat man x=x+ay=x+0y=xx=x+a\cdot y=x+0\cdot y=x. Damit ist also für alle (x,y)R2(x,y)\in \mathbb{R^2} die Eigenschaft (x,y)(x,y)(x,y)∼(x,y) erfüllt.

Und dieser Art und Weise kann man nun auch die zwei anderen Eigenschaften zeigen.

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