a) Sei (G, ◊) eine endliche Gruppe. Zeigen Sie: Ist die Gruppenordnung |G| ungerade,so ist - außer dem neutralen Element e - kein Gruppenelement selbstinvers.
Angenommen es sei x∈G und x≠e und x ist selbstinvers, dann
ist ( {e,x} ◊) eine Untergruppe von (G, ◊) . [ Denn ( {e,x} ◊) ist abgeschlossen,
enthält das neutrale El und zu jedem El. das Inverse]
Da die Ordnung einer Untergruppe immer ein Teiler der
Gruppenordnung ist, muss diese gerade sein. Widerspruch !
b) Beweisen Sie: Gilt in einer Gruppe (G,◊) mit neutralem
Element e für jedes Element a ◊ a=e, so ist die Gruppe kommutativ.
Seien x,y ∈G . ==> ( x◊y ) ◊ ( x◊y ) = e wegen assoziativ
(wird im Folgenden dauernd benutzt)
==> x◊ ( y ◊ ( x◊y ) ) = e Mult. von links mit x
==> (x◊x) ◊ ( y ◊ ( x◊y ) ) = x◊e
==> e ◊ ( y ◊ ( x◊y ) ) = x
==> y ◊ ( x◊y ) = x Mult. von links mit y
==> y ◊ y ◊ ( x◊y ) = y ◊ x
==> e ◊ ( x◊y ) = y ◊ x
==> x◊y = y ◊ x q.e.d.
