Untersuche die Gleichung
$$ r\vec d+s\vec e+t\vec f=\vec o$$
Wenn r=s=t=0 die einzige Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig, liegen also nicht in einer Ebene.
Einsetzen und sortieren liefert
$$ (2r+3s+4t)\vec a+(-3r-5s-5t)\vec b+(1r+2s+1t)\vec c=\vec o$$
Da die Vektoren a, b und c linear unabhängig sind, müssen die Terme in den Klammern gleich Null sein.
2r+3s+4t=0
-3r-5s-5t=0
r+2s+t=0
...
\( r=5 n, ~s=-2 n, ~t=-n, \quad n \in \mathbb{R} \)
Z.B. r=5, s=-2, t=-1.
Da dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, liegen die Vektoren in einer Ebene.
:-)
