Zeigen Sie dass f bijektiv ist.

Question

Hallo, zu zeigen ist:

$$f: \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$$ ist gegeben durch $$f(a,b) = max(a,b)^2 + max(a,b) + a - b$$

Zeigen Sie dass f bijektiv ist.

Wie zeig ich das? Ich komm auch nicht drauf wie ich überhaupt zeigen soll dass es injektiv ist.

Answer 1

Hallo.

Sei ohne Einschränkung $a>b$. Der Nachweis für den umgekehrten Fall geht analag. Dann gilt

$f(a,b) = \max(a,b)^2 +\max(a,b)+a-b \stackrel{a>b}{=}a^2+2a-b$

$f(c,d) = \max(c,d)^2 +\max(c,d)+c-d \stackrel{c>d}{=}c^2+2c-d$

Da aber $f(a,b) = f(c,d)$ vorausgesetzt ist, ist folglich $(a,b)=(c,d)$ komponentenweise.

Die Surjektivität überlasse ich dem Aufgabensteller

Comments

kannst du ein paar tipps geben? Ich kann es immer noch nicht lösen.

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natürlich für Surjektivität