Dichtheit bei Folgen Beweise

Question

Aufgabe:

Sei a := (an)n ⊂ (0, ∞) eine streng monoton steigende, unbeschränkte Folge, d.h.: an+1 > an
fur alle ¨ n ∈ N sowie limn→∞ an = ∞. Sei Ba := ai/aj i, j ∈ N
die Menge aller Bruche, die durch ¨
Folgenglieder von a darstellbar sind

Zeigen Sie: Falls limn→∞
an+1/an = 1 + c fur ¨ c > 0 gilt, so liegen in der Menge X = Ba ∩ (1, 1 + c2)
höchstens endlich viele Elemente.
Problem/Ansatz:

ich sitze schon seid mehreren Tagen ganz verzweifelt vor dieser Aufgabe. Es will mir auch kein Ansatz gelingen. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen was ich zu tun habe?

Comments

Hallo,

was ist in der Behauptung c2? Ist es \(c^2\)?

Gruß

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oh nein hier ist c/2 gemeint

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Liebe Grüße vom Bodensee? ;)

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Oh da hat mich wohl jemand erkannt:) Gruß geht zurück!!

Answer 1

Hallo,

wir halten mal j fest und überlegen, für welche i der Bruch \(\frac{a_i}{a_j}\) zu X gehört. Da die Folge streng monoton wachsen ist, gilt für \(i \leq j\): \(\frac{a_i}{a_j} \leq 1\), der Bruch gehört also dann nicht zu X. Weil die Folgenglieder unbeschränkt wachsen, gibt es einen Index \(k_j\), so dass für \(i>k_j\) gilt: \(\frac{a_i}{a_j}>(1+c/2)\). Diese Brüche gehören auch nicht zu X.

Bis hierhin habe wir festgestellt: Für jedes j gibt es eine höchstens endliche Menge \(I_j\) mit \(\frac{a_i}{a_j} \in X\) für \(i \in I_j\).

Jetzt benutzen wir die Grenzwertbedingung. Diese gesagt, dass es ein k gibt, sodass

$$\frac{a_{j+1}}{a_j}>1+c/2 \text{  für } j>k$$

Wegen der Monotonie dann auch:

$$\frac{a_{j+m}}{a_j}>1+c/2 \text{  für } j>k \text{ und } m \in \mathbb{N}$$

Das heißt, für diese j ist die Menge \(I_j\) leer.

Insgesamt: Ein Bruch liegt in X höchstens für \(j=1,2, \ldots,k\) und die entsprechenden \(i \in I_j\).

Gruß

Comments

Vielen herzlichen Dank für diesen perfekt ausgearbeiteten Beweis!!!!

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Keine Ursache, Mathematik macht Freude :-)

Gruß