Hallo,
wir halten mal j fest und überlegen, für welche i der Bruch ajai zu X gehört. Da die Folge streng monoton wachsen ist, gilt für i≤j: ajai≤1, der Bruch gehört also dann nicht zu X. Weil die Folgenglieder unbeschränkt wachsen, gibt es einen Index kj, so dass für i>kj gilt: ajai>(1+c/2). Diese Brüche gehören auch nicht zu X.
Bis hierhin habe wir festgestellt: Für jedes j gibt es eine höchstens endliche Menge Ij mit ajai∈X für i∈Ij.
Jetzt benutzen wir die Grenzwertbedingung. Diese gesagt, dass es ein k gibt, sodass
ajaj+1>1+c/2 fu¨r j>k
Wegen der Monotonie dann auch:
ajaj+m>1+c/2 fu¨r j>k und m∈N
Das heißt, für diese j ist die Menge Ij leer.
Insgesamt: Ein Bruch liegt in X höchstens für j=1,2,…,k und die entsprechenden i∈Ij.
Gruß