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Aufgabe:

Sei a := (an)n ⊂ (0, ∞) eine streng monoton steigende, unbeschränkte Folge, d.h.: an+1 > an
fur alle ¨ n ∈ N sowie limn→∞ an = ∞. Sei Ba := ai/aj i, j ∈ N
die Menge aller Bruche, die durch ¨
Folgenglieder von a darstellbar sind

Zeigen Sie: Falls limn→∞
an+1/an = 1 + c fur ¨ c > 0 gilt, so liegen in der Menge X = Ba ∩ (1, 1 + c2)
höchstens endlich viele Elemente.
Problem/Ansatz:

ich sitze schon seid mehreren Tagen ganz verzweifelt vor dieser Aufgabe. Es will mir auch kein Ansatz gelingen. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen was ich zu tun habe?

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Hallo,

was ist in der Behauptung c2? Ist es c2c^2?

Gruß

oh nein hier ist c/2 gemeint

Liebe Grüße vom Bodensee? ;)

Oh da hat mich wohl jemand erkannt:) Gruß geht zurück!!

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

wir halten mal j fest und überlegen, für welche i der Bruch aiaj\frac{a_i}{a_j} zu X gehört. Da die Folge streng monoton wachsen ist, gilt für iji \leq jaiaj1\frac{a_i}{a_j} \leq 1, der Bruch gehört also dann nicht zu X. Weil die Folgenglieder unbeschränkt wachsen, gibt es einen Index kjk_j, so dass für i>kji>k_j gilt: aiaj>(1+c/2)\frac{a_i}{a_j}>(1+c/2). Diese Brüche gehören auch nicht zu X.

Bis hierhin habe wir festgestellt: Für jedes j gibt es eine höchstens endliche Menge IjI_j mit aiajX\frac{a_i}{a_j} \in X für iIji \in I_j.

Jetzt benutzen wir die Grenzwertbedingung. Diese gesagt, dass es ein k gibt, sodass

aj+1aj>1+c/2 fu¨j>k\frac{a_{j+1}}{a_j}>1+c/2 \text{ für } j>k

Wegen der Monotonie dann auch:

aj+maj>1+c/2 fu¨j>k und mN\frac{a_{j+m}}{a_j}>1+c/2 \text{ für } j>k \text{ und } m \in \mathbb{N}

Das heißt, für diese j ist die Menge IjI_j leer.

Insgesamt: Ein Bruch liegt in X höchstens für j=1,2,,kj=1,2, \ldots,k und die entsprechenden iIji \in I_j.

Gruß

Avatar von 14 k

Vielen herzlichen Dank für diesen perfekt ausgearbeiteten Beweis!!!!

Keine Ursache, Mathematik macht Freude :-)

Gruß

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