Das ist jetzt möglicherweise eine totale Sackgasse, aber konstruierbar dürften alle Zahlen der Form a+b sein mit a, b ∈ℚ (a-b natürlich auch.
Wenn eine solche Zahl Nullstelle der gegebenen Funktion ist, müsste mit diesen rationalen Zahlen a, b gelten:
(a±b)3−k(a±b)+3=0
Das müsste man ausmultiplizieren, dabei entstehen einige rationale und einige irrationale Summanden, und das k muss so gestaltet sein, dass sich die irrationalen Summanden aufheben (denn sonst würde nicht die rationale Zahl 0 herauskommen).
Ich weiß nicht, ob das so durchführbar und zielführend ist, aber bis jetzt kam ja nichts, was wesentlich erfolgversprechender gewesen wäre.