Lokales Minimum einer Funktion beweisen

Question

Die Funktion f(x) = x6-x5+x4 soll auf Extrema an der Stelle x=0 untersucht werden.

Ich weiß, dass die Funktion bei x=0 einen Tiefpunkt hat aber ich weiß nicht wie ich das zeigen kann.

Answer 1

f(x) = x⁶ - x⁵ + x⁴ = x⁴·(x² - x + 1)

x = 0 ist vierfache Nullstelle mit VZW von + zu + und damit ein Tiefpunkt.

Answer 2

1. die Ableitung ist bei x=0 Null, also waagerechte Tangente . und für x<0 ist f'negativ, für x>0 positiv. also geht die Funktion bei x=0 von fallen in steigen über, also Minimum.

für einen Extremwert, bei dem f''=0 untersucht man immer, ob f' das Vorzeichen wechselt, wenn ja, Extremum  und dann noch nachsehen ob von - nach + oder + nach -.

Gruß lul

Answer 3

f ( x ) = x⁶ - x⁵ + x⁴
f ´( x ) = 6*x⁵ - 5*x⁴ + 4*x³
f ´( 0 ) = 6*0⁵ - 5*0⁴ + 4*0³ = 0

Bei x= 0 ist die Steigung null

Schauen wir einmal wie die Steigung
bei x = -1  und x = 1 ist
f ´( -1 ) = 6*(-1)⁵ - 5*(-1)⁴ + 4*(-1)³
= -30 - 20 - 12 = -62

f ´( 1 ) = 6*(1)⁵ - 5*(1)⁴ + 4*(1)³
= 30 - 20 + 12 = + 22

Die Steigung ändert sich von fallend
auf steigend => Tiefpunkt

Ist kein 100 % Beweis.