Berechnen Sie (ohne Taschenrechner!)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie (ohne Taschenrechner!)

| $\frac{i+1}{2-i}$ - $\frac{(i-3)^2}{2i+1}$ |

Answer 1

Aloha gismooo ;)

Um Wurzeln zu sparen, berechnen wir das Quadrat des Betrages. Wegen $|z|^2=z\cdot z^\ast$ finden wir mit Hilfe der komplexen Konjugation:

$$\phantom{=}\left|\frac{i+1}{2-i}-\frac{(i-3)^2}{2i+1}\right|^2=\left(\frac{i+1}{2-i}-\frac{(i-3)^2}{2i+1}\right)\left(\frac{-i+1}{2+i}-\frac{(-i-3)^2}{-2i+1}\right)$$$$=\frac{i+1}{2-i}\cdot\frac{-i+1}{2+i}-\frac{(i-3)^2}{2i+1}\cdot\frac{-i+1}{2+i}-\frac{i+1}{2-i}\cdot\frac{(-i-3)^2}{-2i+1}+\frac{(i-3)^2}{2i+1}\frac{(-i-3)^2}{-2i+1}$$$$=\frac{(1+i)(1-i)}{(2-i)(2+i)}-\frac{(i-3)^2(1-i)}{(2i+1)(2+i)}-\frac{(i+1)(i+3)^2}{(2-i)(1-2i)}+\frac{(i-3)^2(i+3)^2}{(1+2i)(1-2i)}$$Beim ersten und letzten Bruch hilft uns die dritte binomische Formel sehr, bei den beiden in der Mitte müssen wir rechnen:

$$=\frac{1^2-i^2}{2^2-i^2}-\frac{(i^2-6i+9)(1-i)}{4i+2+2i^2+i}-\frac{(i+1)(i^2+6i+9)}{2-i-4i+2i^2}+\frac{[(i-3)(i+3)]^2}{1^2-(2i)^2}$$$$=\frac{1-i^2}{4-i^2}-\frac{(i^2-6i+9)-(i^2\,i-6i^2+9i)}{5i+2+2i^2}-\frac{(i^2\,i+6i^2+9i)+(i^2+6i+9)}{-5i+2+2i^2}+\frac{(i^2-9)^2}{1-4i^2}$$Setzen wir nun $i^2=-1$ ein, fällt der Ausdruck in sich zusammen:

$$=\frac{2}{5}-\frac{(8-6i)-(8i+6)}{5i}-\frac{(8i-6)+(8+6i)}{-5i}+\frac{(-10)^2}{5}$$$$=\frac{2}{5}-\frac{(8-6i)-(8i+6)}{5i}+\frac{(8i-6)+(8+6i)}{5i}+\frac{100}{5}$$$$=\frac{2}{5}+\frac{-(8-6i)+(8i+6)+(8i-6)+(8+6i)}{5i}+\frac{100}{5}$$$$=\frac{2}{5}+\frac{-(\cancel8-6i)+(8i+\cancel6)+(8i-\cancel6)+(\cancel8+6i)}{5i}+\frac{100}{5}$$$$=\frac{2}{5}+\frac{28i}{5i}+\frac{100}{5}=\frac{130}{5}=26$$

Das Ergebnis ist die Wurzel aus dem Quadrat, also $\boxed{\sqrt{26}}$. Ich würde es genauso angeben, denn zum Ausrechnen der Wurzel $\approx5,09992$ bräuchtest du ja einen Taschenrechner ;)

Answer 2

(i + 1)/(2 - i)
= (i + 1)·(2 + i)/((2 - i)·(2 + i))
= (3·i + 1)/5
= 3/5·i + 1/5

(i + 3)²/(2·i + 1)
= (6·i + 8)/(2·i + 1)
= (6·i + 8)·(2·i - 1)/((2·i + 1)·(2·i - 1))
= (10·i - 20)/(-5)
= 4 - 2·i

3/5·i + 1/5 - (4 - 2·i)
= 13/5·i - 19/5

| 13/5·i - 19/5 |
= √((13/5)² + (19/5)²)
= √530/5
= 4.604345773

Answer 3

$$|\frac{1+i}{2 - i} - \frac{(-3+i)^2}{1+2i}|=$$$$|\frac{(1+i)i}{(2 - i)i} - \frac{(-3+i)^2}{1+2i}|=$$$$|\frac{-1+i-8+6i}{1+2i}|=$$$$|\frac{(-9+7i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}|=$$$$|\frac{5+25i}{5}|=$$$$\sqrt{26}≈5,1$$

Um es genauer anzugeben, bräuchte ich aber einen TR

Answer 4

Hallo gismooo,

Die komplexen Zahlen im Nenner bekommt man weg, indem man den Bruch mit der jeweiligen konjugiert komplexen erweitert. Also bei einem Nenner von $(2-i)$ mit $(2+i)$ und bei einem Nenner $(2i+1)$ mit $(-2i+1)$. So vereinfacht man zunächst mal den Ausdruck zwischen den Betragsstrichen:$$\phantom{=} \frac{i+1}{2-i} - \frac{(i-3)^2}{2i+1} \\ =\frac{(i+1)(2+i)}{5} - \frac{(i-3)^2(-2i+1)}{5} \\ = \frac{1 + 3i - (-1-6i+9)(1-2i)}{5} \\ = \frac{1 + 3i - (8-6i)(1-2i)}{5} \\ = \frac{1+3i - (-4 -22i)}{5} \\ = \frac{5+25i}{5} \\ = 1+5i\\$$Und der Betrag ist $$|1+5i| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$$Und wozu hätte man da jetzt einen Taschenrechner benötigt? Das sind doch alles Multiplikationen und Addition von relativ kleinen Zahlen!

Comments

Danke Werner, ich hatte mir schon Sorgen gemacht, dass mein Ergebnis vielleicht falsch wäre... Jetzt steht es 2 zu 2, also unentschieden zwischen dem richtigen und dem falschen Ergebnis ;)

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Das sehe ich auch so. Hat den schon einer den Videoschiedsrichter im Kölner Keller angerufen?

Ich sehe gerade, das ist nicht nötig ich hatte wiedereinmal + statt - gesetzt.

Muss mein Ergebnis also nochmal überarbeiten. Leider schon bei der Aufgabe. Keine Ahnung, wie das geschehen konnte, denn ich hatte sie kopiert.

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Ich habe den Schiri gerade mal gefragt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=abs%28%281%2Bi%29%2F%282-i%29-…

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Kann es sein, dass Gismooo die Aufgabe editiert hat. Vorher $(i+3)^2$ und später $(i-3)^2$? Dann hätten wir hier vier richtige Lösungen zu zwei Aufgaben

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Das könnte sein, denn der Coach macht selten einen Fehler. Doch jetzt habe ich meine Lösung überarbeitet. Sie stimmt mit eurer überein, nur bei der Wurzel aus 26 musste ich ohne TR schätzen.

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.. nur bei der Wurzel aus 26 musste ich ohne TR schätzen.

und mit TR ist es ja nur ungefähr. Bei solchen Aufgaben sollte $\sqrt{26}$ als Ergebnis genügen.