Und kann man das auch mit dem GTR berechnen?

Question

Wie berechnet man Extrempunkte mit der Funktion

f(x)= $\frac{1}{8}$x⁴ -x²

Und kann man das auch mit dem GTR berechnen ?

Answer 1

Das kann man eigentlich sehr gut im Kopf ausrechnen.

Comments

Ja wie geht der Rechenweg

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Der Gleichung sieht man an, dass es eine nach oben geöffnete, y-Achsen-symmetrische Parabel 4. Grades ist. Also W-förmig. Das lokale Maximum ist darum bei x = 0.

Um die beiden lokalen Minima (die "unteren Enden des W") zu finden, setzt man die 1. Ableitung gleich Null. Also

1/2 x³ - 2x = 0         +2x  /2

1/4 x³ = x                 /x *4

x² = 4                      Quadratwurzel

x = ± 2

Answer 2

Man kann  f(x)  ganz leicht (ohne irgendwelche Rechenhilfen !) umformen zu:

f(x) = $\frac{1}{8}$ (x² - 4)² - 2

und nun kann man auch sofort erkennen, dass f(x)  seinen absolut minimalen Wert   y_min = -2   an den beiden Stellen  x₁ = +2  und  x₂ = -2  annimmt. Auch dass außerdem an der Stelle x=0 ein (relatives) Maximum mit dem Wert  0  existieren muss, ist leicht zu sehen.

Answer 3

f(x) = $\frac{1}{8}$x^4 - x^2

f´(x) =$\frac{1}{2}$ x^3  - 2 x

$\frac{1}{2}$ x^3  - 2 x = 0

x³-4x=0

x₁=0→y_1=0

x²-4=0

x₂ =2→y_2=-2

x₃ =-2→y_2=-2

Art der Extrema:

f´´(x)= 1,5x²-2

f´´(0)= -2<0→Maximum

f´´(2)= 1,5*2²-2>0 Minimum

f´´(-2)= 1,5*(-2)²-2>0 Minimum

mfG

Moliets

Text erkannt:

GeoGebra Classic
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Answer 4

$$f(x)= \frac{1}{8}x^4 -x^2$$

$$f'(x)= \frac{1}{2}x^3 -x$$

$$f'(x)= ( \frac{1}{2}x^2 -1)x=0$$

Extrempunkte

Lokales Maximum$$x_1=0$$

Minima$$x_2 =\sqrt{2} ; x_3 =-\sqrt{2}$$

$$f''(x)= \frac{3}{2}x^2 -1$$

Comments

Wie kommt man von dem $\frac{1}{8}$ auf $\frac{1}{2}$ das habe ich nicht genau verstanden

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Hat sich doch geklärt