Question

Könntet ihr mir beim folgenden Beispiel bei 2) und 4) helfen?

Zur Angabe:

2.53 Eine Kugel wird von der Dachkante eines \( 140 \mathrm{~m} \) hohen Gebäudes mit der Abschussgeschwindigkeit \( 60 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) lotrecht nach oben geschossen. Nach \( \mathrm{t} \) Sekunden hat sie die Höhe \( \mathrm{s}(\mathrm{t})=140+60 \mathrm{t}-5 \mathrm{t}^{2} \)erreicht (s in Meter, t in Sekunden).

1) Nach welcher Zeit befindet sich die Kugel wieder auf Abschusshöhe?

2) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 5 s?

3) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel nach 5 s?

4) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf?

1) ist bei mir 12s

2) hier komme ich auch nicht weiter

bei 3) kommt bei mir 10m/s raus

bei 4) bin ich mir nicht sicher

-5t² + 60t + 140 = 0

a = -5    b = 60    c = 140
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a = (-60±√(〖(-60)〗^2-4(-5)140))/(2(-5))=(-60±√(3600-(-2800)))/(-10)=(-60±√6400)/(-10)=(-60±80)/(-10)
x1 = (-60+80)/(-10) = 20/(-10)= -2
x2 = (-60-80)/(-10)=(-140)/(-10)=14
Das Endergebnis soll ich in die Ableitung s'(t) einsetzen, um die Lösung zu erhalten. Ich habe 2 Lösungen: x_1 und x_2. Woher bzw. wie weiß ich nun, welches von den beiden Ergebnissen ich in die Ableitung einsetzen muss? x_1 oder x_2?

vielen Dank im Voraus!!

Answer 1

h ( t ) = 140 + 60 * t -5 * t ^{2}

1) Nach welcher Zeit befindet sich die Kugel wieder auf Abschusshöhe?
ohne die 140 m
h ( t ) = 60 * t - 5 * t^2 = 0
h ( t ) = t * ( 60 - 5 * t )
Satz vom Nullprodukt
t = 0
und
60 - 5 * t = 0
t = 12 sec

2) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 5 s?
h ´( t ) = 60 - 5 * t * 2
h ´( t ) = 60 - 10 * t
h ´( 0 ) = 60
h ´( 5 ) = 10
Der Geschwindigkeitszuwachs/abnahme verläuft
linear ( 60 + 10 ) / 2 = 35 m/s

3) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel nach 5 s?
h ´( 5 ) = 10 m/s

4) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit trifft die Kugel auf dem Boden auf?
nach 6 sec ist der Hochpunkt erreicht
h ( 6 ) = 60 * 6 - 5 * 6^2 = 180 m
Die Kugel fällt von 180 + 140 auf den Boden
h ( t ) = 5 * t^2 - 60 * t = 320 m
t = 16 sec

h ´( 16 ) = 5 * 2 * 16 - 60 = 100 m/s

Frage nach bis alles klar ist.

Comments

Erstmal

ich glaube, dass bei 4) ein Fehler unterlaufen ist: bei den Lösungen steht nämlich v=-80m/s

könnte man 2) mit dem Differenzenquotient berechnen? Mein Lehrer hat als Lösungsansatz (s(5)-s(0))/(5-0) angegeben. Wie würde man hierbei vorgehen?

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und warum muss man bei 2) am Ende mit 2 dividieren, um auf die 35 zu kommen?

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h ´( 0 ) = 60
h ´( 5 ) = 10
Die Geschwindigkeit bei t = 0 ist 60 m/s.
Die Geschwindigkeit bei t = 5 ist 10 m/s.
Dazwischen fällt die Geschwindigkeit
linear ab.
Die mIttlere Geschwindigkeit ist
( 60 + 10 ) / 2 = 35 m/s

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-5*t^2 + 60*t + 140 = 0
t = 14 sec
ist richtig. Ich hatte die Aufstiegsphase
nicht richtig berücksichtigt.

h ´( 14 ) = -10 * 14 + 60
h ´( t ) = v ( t ) = 80 m/s

( s(5) - s(0) ) / (5-0)
( 315 m - 140 m) / 5 sec

35 m/s

Answer 2

1) ist bei mir 12s          stimmt.

2) Berechne ( s(5)-s(0) ) / ( 5-0) 

bei 3) kommt bei mir 10m/s raus  stimmt auch

bei 4) bin ich mir nicht sicher

alles richtig bis  :

Das Endergebnis soll ich in die Ableitung s'(t) einsetzen, um die Lösung zu erhalten. Ich habe 2 Lösungen: x_1 und x_2. Woher bzw. wie weiß ich nun, welches von den beiden Ergebnissen ich in die Ableitung einsetzen muss? x_1 oder x_2?  Sinn macht doch nur t=14 . Das andere wären ja 2 s vor dem

Abschuss. Da gilt die Gleichung gar nicht.

Also: Nach 14s am Boden mit Geschw. s ' (14) = -80 m/s .