Zeigen Sie, dass (R 0, ☼) zusammen mit ☺ als Skalarmultiplikation einen R-Vektorraum bildet.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Menge R>0 der positiven reellen Zahlen und definieren die Verknüpfungen
☼ : R>0 × R>0 → R>0, (v, w) ↦ vw
und
☺: R × R>0 → R>0, (λ, v) ↦ v^λ

Zeigen Sie, dass (R>0, ☼) zusammen mit ☺ als Skalarmultiplikation einen R-Vektorraum bildet.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Vektorraum Axiome alle durchgerechnet allerdings komme ich bei einem Axiom immer auf einen Widerspruch.

Laut dem Axiom gilt für r,s ∈ R, v ∈ R>0 : (r + s) * v = r * v + s * v

Übertragen auf die oben gegebenen, veränderten Verknüpfungen müsste also gelten:

(λ ☼ λ') ☺v = λ ☺ v ☼ λ' ☺v

Ergebnis v^λλ' = v^λ * v^λ'

Demnach wäre hier ein Widerspruch.

Wäre super wenn jemand einen Ansatz hätte :-)

Answer 1

Die Übertragung lautet:

(λ + λ') ☺v = λ ☺ v ☼ λ' ☺v

denn λ und  λ' sind ja Faktoren aus ℝ; denn es soll ja ein ℝ-Vektorraum sein.

und dann wird daraus

v^(λ + λ') =  v^λ * v^λ'  und das ist ja nach den Potenzgesetzen richtig .

Comments

Vielen Dank!

hab ichs richtig verstanden, dass (λ + λ') ☺v = λ ☺ v ☼ λ' ☺v korrekt ist, da λ und λ' beide Elemente von R sind und daher einfach zusammen addiert werden?

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Ja, die Addition im Grundkörper wird ja durch die

neue Definition der Vektorraumverknüpfungen

nicht berührt.

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Alles klar

vielen Dank! :-)

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Müsste auf der rechten Seite nicht v^λ + v^λ' stehen statt v^λ * v^λ'?

Da ja:  r * v + s * v =  λ ☺ v ☼ λ' ☺v

☺= * , ☼ = +         ->  λ* v+λ' * v

Vielen Dank im voraus.

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Du musst unterscheiden zwischen dem + für die Körperelemente

und dem + für die Vektoren.

Bei R^3 oder so sieht man ja gleich um was für Objekte es sich handelt,

hier sind aber beide reelle Zahlen.

Und auf der linken Seite von

(λ + λ') ☺v = λ ☺ v ☼ λ' ☺v

ist + das + für reelle Zahlen und rechts das ☼ ist das +

für Vektoren, welches ja hier als * definiert ist.

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Achso okay. Vielen Dank!