Bestimmung der momentanen Änderungsrate von Faktor A bei der Erhöhung von Faktor B um eine marginale Einheit

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen \( A \) und \( B \) her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

\( q=F\left(x_{1}, x_{2}\right)=e^{0.35 x_{1}+0.15 x_{2}+0.45 x_{1} x_{2}} \)

Dabei bezeichnen \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der Rohstoffe \( A \) und \( B \) und \( q=F\left(x_{1}, x_{2}\right) \) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(1.3,2.7) \).

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor \( A \) bei Erhóhung von Faktor \( B \) um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von \( F(1.3,2.7) \) Mengeneinheiten.

Vielen Dank

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha ;)

Das ist aber alles schön winzig geschrieben. Ich hoffe, dass ich alles richtig gelesen habe:

$$q=F(x,y)=e^{0,35x+0,15y+0,45xy}\quad;\quad(x_0|y_0)=(1,3|2,7)\quad;\quad dF=0\quad;\quad dx=?$$

Da das Produktionsniveau beibehalten werden soll, muss \(dF=0\) gelten. Mit Hilfe des totalen Differentials können wir daraus eine Formel für \(dx\) herleiten:

$$0=dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy\implies\frac{\partial F}{\partial x}\,dx=-\frac{\partial F}{\partial y}\,dy\implies dx=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial x}}\,dy$$Wir leiten ab und setzen ein:

$$dx=-\frac{e^{0,35x+0,15y+0,45xy}\,(0,15+0,45x)}{e^{0,35x+0,15y+0,45xy}\,(0,35+0,45y)}\,dy=-\frac{3+9x}{7+9y}\,dy$$Wir setzen den Punkt \((1,3|2,7)\) und finden:

$$dx=-\frac{3+9\cdot1,3}{7+9\cdot2,7}\,dy=-\frac{14,7}{31,3}\,dy=-0,46964856\,dy$$

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