Halli Hallo liebe Mathe Leute
die Aufgabe, die ich versuche zu rechnen, lautet:
Beweisen, dass der Linke Term größer ist als der Rechte
$$ \prod _{ k=1 }^{ K }{ (1+\frac { 1 }{ K*a_{ k } } ) } > (1+\frac { 1 }{ \sum _{ k=1 }^{ K }{ a_{ k } } } )^{ K } $$
Nun sind die Elemente a_k ∈ℝ+ (also positive reelle Zahlen ) und K ist eine ganze Zahl
Wenn ich zufällige Werte für z.B. K = 3 einsetze, dann ist auch der Linke Term größer
Ich kann es nur leider nicht beweisen.
Meine Vorgehensweise:
die beiden Terme in eine Reihe darzustellen
linker Term:
$$ 1+\frac { 1 }{ K } \sum _{ k=1 }^{ K }{ \frac { 1 }{ a_{ k } } } +(\frac { 1 }{ K } )^{ 2 }\sum _{ i=1,j=1,i\neq j }^{ K }{ \frac { 1 }{ a_{ i }a_{ j } } } +...$$
rechter Term:
$$1+K\frac { 1 }{ \sum _{ k=1 }^{ K }{ a_{ k } } } +\frac { K(K-1) }{ 2 } \frac { 1 }{ \left( \sum _{ k=1}^{ K }{ a_k} \right) ^{ 2 } } +... $$
Nun habe ich gedacht, dass ich die einzelnen Elemente vergleichen kann, also beweisen, dass
$$ \frac { 1 }{ K } \sum _{ k=1 }^{ K }{ \frac { 1 }{ a_{ k } } } > K\frac { 1 }{ \sum _{ k=1 }^{ K }{ a_{ k } } } $$
Aber irgendwie klappt das nicht, weil mir das K im Weg steht.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte. Bzw. eine Idee zu dem Hauptproblem liefern könnte =)
