Zeigen sie, dass q eine quadratische Form auf V darstellt

Question

Aufgabe:

Auf dem K-Vektorraum V der quadratischen (2×2)-Matrizen über K mit char(K)≠ 2 betrachten wir die Abbildung

q : V → K, A ↦ det(A)

Zeigen sie, dass q eine quadratische Form auf V darstellt

Problem/Ansatz:

Ich weis, dass für quadratische Formen gilt:

1) q(ax) = a^(2)q(x) für alle a ∈ K und x ∈ V

und

2) Die Abbildung β_q : V × V → K, (x,y) ↦ q(x+y)−q(x)−q(y) ist eine Bilinearform auf V

leider weiß ich nicht wie ich diese Eigenschaften nachweisen kann. Hat jemand einen Tipp für mich?

Answer 1

Nimm allgemein eine 2 x 2 Matrix \( A=\begin{pmatrix} u & v \\ w & x \end{pmatrix} \)

Und prüfe etwa die erste Bedingung durch

q( a*A) = q( \( \begin{pmatrix} au & av \\ aw & ax \end{pmatrix} \) )

= au*ax - av*aw = a^2 * ( ux-vw) = a^2 * det(A) = a^2 * q(A).

Comments

Achso, das macht Sinn! Vielen Dank :)

Bei der zweiten Eigenschaft hast du da eine Idee, wie ich das zeigen kann?

Darf ich q(x+y) auseinanderziehen zu q(x)+q(y) oder ist q keine lineare Abbildung? Dann würde sich ja alles wegkürzen und q(x,y) wäre 0.

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Beziehungsweise ich muss ja zeigen, dass q eine Billinearform ist. Dafür muss ja gelten:

1. β(x+x′,y) =β(x,y) +β(x′,y),

2. β(x,y+y′) =β(x,y) +β(x,y′),

3. β(λx,y) =λβ(x,y) =β(x,λy)

Ich habe jetzt versucht, dass 1. nachzuweisen und habe (x+x',y) in β_q eingesetzt. Ich komme dann auf: q(x+x'+y)-q(x+x')-q(y)= det(x+x'+y)-det(x+x')-det(y)

Da ich nicht weiter wusste, habe ich versucht von hinten weiter zu machen (also mit β(x,y) +β(x′,y)), um zu zeigen, dass dann das gleiche rauskommt. Das hat mir leider nichts gebracht da vollkommen unterschiedliche Sachen rauskommen.

Hast du oder irgendjemand einen weiteren Tipp für mich?