Question

Sind diese Mengen Untervektorräume von R³?

1. U ={ $\vec{x}$ ∈ R³ : x₁x₂x₃ = 0; x₁x₃ ≥ 0 }

Soll das nun eine multiplikation zwischen den x-en sein?

Wenn ja hätte ich folgenden Ansatz: $\vec{0}$ ∈ U: 0*0*0=0 und 0*0 ≥ 0. Stimmt ja beides also nächster Schritt:

$\vec{x}$ ,$\vec{y}$ ∈ U -> $\vec{x}$  + $\vec{y}$ ∈ U:

(x1+y1)*(x2+y2)*(x3*y3)= x1x2x3 + x1x2y3 + x1y2x3 + x1y2y3 + y1x2x3 + y1x2y3 + y1y2x3 + y1y2y3

Kann ich hier von jedem Part mit einem x Ausgehen, das dieser 0 wird oder wie mache ich hier weiter?

Und der 3 Schritt: (a*x1)*(a*x2)*(a*x3) = 0, da hier alle x = 0 wählbar sind und somit auch alles 0 ist.

Genauso bei (a*x1)*(a*x3)≥0

2.U = { p ∈ P_n : p(x) = p(-x) , x ∈ R}

Hier weis ich nicht wie ich vorgehen soll.

p(0) = p(-0) = 0 bzw. p(0) - p(-0) = 0 . Allerdings wenn ich etwas anderes als 0 einsetze ist p(x) = p(-x) ja nicht mehr erfüllt?

(Und wieder der zweite Schritt den ich allerdings in diesem Bsp. nicht verstehe.

Und der dritte: a* p(x) - a* p(-x) = 0, da ich hier für p(0) oder p(-0) gleich 0 habe.)

Comments

2.U = { p ∈ P_n : p(x) = p(-x) , x ∈ R}

Was ist P_n?

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Das weiß ich leider auch nicht sicher. Ich denke es steht für den Vektorraum R² oder R³.

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Wenn es für den Vektorraum R² oder R³ stehen würde, dann würde da R² bzw. R³ stehen.

Das weiß ich leider auch nicht sicher.

Ändere das.

Der Teil "p(x) = p(-x)" sieht danach aus, also ob P_n eine Menge von Funktionen ist.

Ist das tatsächlich der Fall, dann ist U kein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$, weil die Elemente von $\mathbb{R}^3$ keine Funktionen sind.

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Und wäre U dann ein Untervektorraum von P_n?

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Was ist P_n?

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Weis ich wie gesagt leider nicht aber vielleicht wie Sie gesagt haben eine Menge von Funktionen.

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Weis ich wie gesagt leider nicht

Ändere das.

Answer 1

Aloha :)

1)$\quad U=\{\vec x\in\mathbb R^3\;\big|\;x_1x_2x_3=0\;;\;x_1x_3\ge0\}$

1a) Prüfung, ob der Nullvektor in $U$ enthalten ist:$$\vec x=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\implies x_1x_2x_3=0\cdot0\cdot0=0\;;\;x_1x_3=0\cdot0\ge0\quad\checkmark$$

1b) Prüfung auf Abgeschlossenheit bzgl. Addition:

Betrachte die beiden folgenden Vektoren:$$\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\in U\quad;\quad\vec y=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\in U\implies\vec x+\vec y=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\not\in U$$Da $x_3=0$ und $y_1=0$ ist, sind $\vec x$ und $\vec y$ in $U$ enthalten. Die Summe beider Vektoren ist wegen $(x_1+y_1)(x_2+y_2)(x_3+y_3)=1\cdot1\cdot1=1\ne0$ jedoch nicht in $U$ enthalten. Die Menge $U$ ist daher nicht abgeschlossen bezüglich der Addition und daher kein Unterverktorraum des $\mathbb R^3$.

2) $\quad U=\{p\in P_n[x]\;\big|\;p(x)=p(-x)\;;\;x\in\mathbb R\}$

$P_n[x]$ ist die Menge aller Polynome vom Grad $n$. $U$ enthält daher alle geraden Polynome.

2a) Prüfung, ob das Nullpolynom in $U$ enthalten ist:$$p(x)=0\implies p(x)=p(-x)\quad\checkmark$$

2b) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition:

Seien $p$ und $q$ zwei gerade Polyone, dann gilt:$$(p+q)(x)=p(x)+q(x)=p(-x)+q(-x)=(p+q)(-x)\quad\checkmark$$

2c) Abeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation:

Sei $p$ ein gerades Polynom und $a\in\mathbb R$, dann gilt:$$(a\cdot p)(x)=a\cdot p(x)=a\cdot p(-x)=(a\cdot p)(-x)\quad\checkmark$$

Die Menge der geraden Polynome bildet also einen Untervektorraum des Vektorraums aller Polynome.

Comments

Wie kann ich entnehmen bzw. woher weiß ich, dass I alle geraden Polynome enthält?

Kann n nicht auch ungerade sein?

Danke für den Rest sehr verständlich.

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Bei 1b) wären andere Variablen für die Beispielvektoren besser.

So passt   $x_1x_2x_3=1\ne0$  nicht.

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@Flygeist:

$P_n$ ist die Menge aller Polynome vom Grad $n$. Da $n$ nicht näher bestimmt ist, müssen wir davon ausgehen, dass hier alle Polynome gemeint sind. In der Menge $U$ ist ein Polynom genau dann, wenn $p(x)=p(-x)$ gilt. Diese Bedinung definiert ein achsensysmmetrisches bzw. gerades Polynom.

@Wolfgang:

Ich habe die Stelle etwas genauer formuliert...

Answer 2

Soll das nun eine multiplikation zwischen den x-en sein?

Ja.

Kann ich hier von jedem Part mit einem x Ausgehen, das dieser 0 wird

Nein. Außer du findest einen Grund dafür.

wie mache ich hier weiter?

Wähle $\vec{x}, \vec{y} \in U$ so, dass $\vec{x}+\vec{y}\notin U$ ist.

Und der 3 Schritt

Kannst du dir sparen, weil $U$ kein Untervektorraum von $\mathbb{R}^3$ ist.