allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit von g

Question

Aufgabe:

Ein Federpendel wird von einem Hubkolbenmotor angeregt (siehe Abbildung 1). Die Auslenkung der Kugel aus der Ruhelage x = 0 wird durch die Differentialgleichung

$$\ddot x(t) + w^2 x(t) = g(t)$$

für ω > 0 und eine periodische Funktion g modelliert.

(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit
von g.

Problem/Ansatz:

es ist \/\ddot x\) und b(t)x gegeben also kann ich nicht richtig substitution verwenden. normalerweise bei x'' und x' würde man x'=z machen.

Comments

Die Lösung zu

\(\ddot x(t) + w^2 x(t) = 0\)

ist bekannt:

\(x_{h}(t)= A sin(\omega t) + Bcos(\omega t)\)

Und jetzt machst du Var. der Konstanten, der Einfachheit halber erstmal nur für A,daher

\(x_p (t)= A(t) sin(\omega t)\). Das setzt du in die DGL ein, es kommt eine neue DGL in

\( \ddot A(t), \dot A(t)\) heraus, welche man mit einer weiteren Variation der Konstanten lösen kann. Die Rechnung ist nicht so schwer, aber ist mir zuviel Schreibarbeit im Moment ;).

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tut mir leid dass ich spät antworte.

wenn ich das einsetze kommt

Asin(wt) = Acos(wt)+Bsin(wt) heraus...

was meinst du mit A ¨ (t), A ˙ (t)? keine ahnung was das sein soll? die ableitungen der konstante A ? xD

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nun das ist ja bekannt:

x(t)=Asin(ωt)+Bcos(ωt)

In den Lösungshinweisen steht folgendes und das verstehe ich nicht:

W(t) = wcos^2(wt)+wsin^2(wt) , Determinante > soweit in Ordnung

\( C_{1}(t)= - \int \frac{x_{2}(t) g(t)}{W(t)} d t \)

\( C_{2}(t)= \int \frac{x_{1}(t) g(t)}{W(t)} d t \)

und das soll die Cramersche Regel sein. > woher kommen die Formeln für C?

Und das muss ich nun lösen.

Wie nun Var. d. Konst. genau eingesetzt wird weiß ich icht.

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habs noch nicht ganz verstanden.

wir substituieren y = x'.

ich verstehe wie man von

y'(t) + w^2x(t) = 0

auf

x = c_1 cos (wt) + c_2 sin(wt) kommt.

aber nicht wie man auf

y = c_1 (-wsin(wt) + c_2 (wcos(wt) kommt.

danach variation der konstante. das hab ich mittlerweile drauf.

Ich muss aber erstmal auf diese form kommen:

\( \left(\begin{array}{l}x_{\text {}}(t) \\ y_{\text {}}(t)\end{array}\right)=C_{1}\left(\begin{array}{c}\cos (\omega t) \\ -\omega \sin (\omega t)\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}\sin (\omega t) \\ \omega \cos (\omega t)\end{array}\right) \)

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lösung:

substitution: y= x'

d.h. für y(t) einfach x ableiten