allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit von g

Question

Aufgabe:

Ein Federpendel wird von einem Hubkolbenmotor angeregt (siehe Abbildung 1). Die Auslenkung der Kugel aus der Ruhelage x = 0 wird durch die Differentialgleichung

$$\ddot x(t) + w^2 x(t) = g(t)$$

für ω > 0 und eine periodische Funktion g modelliert.

(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung mit Hilfe der Variation der Konstanten in Abhängigkeit
von g.

Problem/Ansatz:

es ist \/\ddot x\) und b(t)x gegeben also kann ich nicht richtig substitution verwenden. normalerweise bei x'' und x' würde man x'=z machen.

Comments

Die Lösung zu

$\ddot x(t) + w^2 x(t) = 0$

ist bekannt:

$x_{h}(t)= A sin(\omega t) + Bcos(\omega t)$

Und jetzt machst du Var. der Konstanten, der Einfachheit halber erstmal nur für A,daher

$x_p (t)= A(t) sin(\omega t)$. Das setzt du in die DGL ein, es kommt eine neue DGL in

$\ddot A(t), \dot A(t)$ heraus, welche man mit einer weiteren Variation der Konstanten lösen kann. Die Rechnung ist nicht so schwer, aber ist mir zuviel Schreibarbeit im Moment ;).

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tut mir leid dass ich spät antworte.

wenn ich das einsetze kommt

Asin(wt) = Acos(wt)+Bsin(wt) heraus...

was meinst du mit A ¨ (t), A ˙ (t)? keine ahnung was das sein soll? die ableitungen der konstante A ? xD

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nun das ist ja bekannt:

x(t)=Asin(ωt)+Bcos(ωt)

In den Lösungshinweisen steht folgendes und das verstehe ich nicht:

W(t) = wcos²(wt)+wsin²(wt) , Determinante > soweit in Ordnung

$C_{1}(t)= - \int \frac{x_{2}(t) g(t)}{W(t)} d t$

$C_{2}(t)= \int \frac{x_{1}(t) g(t)}{W(t)} d t$

und das soll die Cramersche Regel sein. > woher kommen die Formeln für C?

Und das muss ich nun lösen.

Wie nun Var. d. Konst. genau eingesetzt wird weiß ich icht.

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habs noch nicht ganz verstanden.

wir substituieren y = x'.

ich verstehe wie man von

y'(t) + w^2x(t) = 0

auf

x = c_1 cos (wt) + c_2 sin(wt) kommt.

aber nicht wie man auf

y = c_1 (-wsin(wt) + c_2 (wcos(wt) kommt.

danach variation der konstante. das hab ich mittlerweile drauf.

Ich muss aber erstmal auf diese form kommen:

$\left(\begin{array}{l}x_{\text {}}(t) \\ y_{\text {}}(t)\end{array}\right)=C_{1}\left(\begin{array}{c}\cos (\omega t) \\ -\omega \sin (\omega t)\end{array}\right)+C_{2}\left(\begin{array}{c}\sin (\omega t) \\ \omega \cos (\omega t)\end{array}\right)$

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lösung:

substitution: y= x'

d.h. für y(t) einfach x ableiten