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Aufgabe:

Differentialrechnung.   (a)  Was gibt f‘(x) an ?   (b)  Was bedeutet f‘(x) > 0 ?   (c)  Was bedeutet f‘(x) < 0 ?   (d)  Was bedeutet f‘(x) = 0 ?   (e)  Wie bildet man f‘(x) bei einfachen Funktionen ?   (f)  Was gibt f‘‘(x) an ?
21:09

Problem/Ansatz:

E-Mail wurde erfolgreich kopiert imageWas ist da genau zu machen


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2 Antworten

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Beste Antwort

(a)  Was gibt f‘(x) an ?

Die Steigung der Tangente an der Stelle x

(b)  Was bedeutet f‘(x) > 0 ?

Die Tangente steigt an der Stelle x an, geht also von links unten nach rechts oben.

(c)  Was bedeutet f‘(x) < 0 ?

Die Tangente fällt an der Stelle x, sie geht von links oben nach rechts unter

(d)  Was bedeutet f‘(x) = 0 ?

An der Stelle x ist die Tangente waagerecht. Dort hat die Funktion entweder eine Extremstelle, also ein Maximum oder Minimum, oder sie hat einen Sattelpunkt, eine waagerechte Wendestelle.

(e)  Wie bildet man f‘(x) bei einfachen Funktionen ?

Das ist eine komplizierte Frage.

Eine konstante Funktion hat immer an allen Stellen die gleiche Steigung, sie ist Null

f(x)= a ; f'(x)=f(x)

Eine proportionale Funktion hat immer die gleiche Steigung

f(x)= a*x ; f'(x) = a

Eine lineare Funktion hat auch immer die gleiche Steigung.

f(x)= a + b*x ; f'(x)= 0+b=b

Warum habe ich das jetzt so umständlich aufgeschrieben, weil wir damit eine Regel haben.

Wenn ich eine Funktion als Summe zweier Funktionen schreiben kann, dann ist die Ableitung die Summe der beiden Ableitungen.

f(x) = g(x)+ h(x) ; f' (x) = g'(x) + h'(x)

Ich sage mal, dass alle anderen Funktionen keine einfachen Funktionen sind.

Dort muss man den Grenzübergang des Differenzenquotienten machen und bekommt dann den Differentialquotienten.

\( \lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

dabei muss der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sein, also egal ob h positiv ist oder negativ, der Grenzwert muss gleich sein.

Ein Gegenbeispiel ist die Betragsfunktion

f(x)=|x| die ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

So am Anfang sagte ich, dass die Frage kompliziert sei. Das sagte ich, weil ich nicht weiß, welche Funktionen noch zu den erwähnten als leicht angesehen werden.
Ich habe die Grenze dort gesetzt, wo der Grenzübergang gemacht werden muss.
Wenn aber noch andere Funktionen als leicht angesehen werden, dann muss nochmal nachgefragt werden .

(f)  Was gibt f‘‘(x) an ?

So wie wir die Funktion darstellen können, so können wir auch die Ableitung darstellen.

f''(x) ist die Ableitung der Ableitung, also eine Aussage über die Veränderung der Steigung, die Krümmung.

Avatar von 11 k

Abelitungen von Differnenzenquotienten haben wir nie gemacht .Sondern nur konstante Funktion,linerare Funktion,Potenzfunktion,Sinus und Cosinusfunktion,Natürliche und Allgemeine Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus.

Plus und Minus Ableitungsfunktion natürlich auch

Wir machten von diesen Funktionen ableitungen.



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Der Differenzenquotent wird nicht abgeleitet. Ihn benutzt du um die Steigung einer Geraden zu bestimmen. Wenn du den Differenzenquotienten bei anderen Funktionen benutzt, dann kannst du nur sagen, dass es in dem Bereich zwischen x1 und x2 ein x gibt, so dass $$f'(x)=  \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$Der Bruch, das ist der Differenzenquotient.

Die Ableitung f'(x) ist der Differentialquotient dazu wird in der Schule meistens gesetzt\( x_1=x \)und \(x_2=x+h)\) dann strebt h gegen Null.

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Da habe ich die Grenze zwischen einfach und schwer gesetzt. Wenn du nun sagst, diese Grenzübergänge sind einfach, dann muss ich meine Beispiele noch ergänzen.

$$f(x) = x^n ;  f'(x)=n*x^{n-1}$$

$$f(x) = sin (x) ; f' (x) = cos (x)$$

$$ f(x) = cos (x) ; f' ( x) = - sin (x)$$

$$f(x)= e^x. ;  f' (x)= e^x$$

$$f(x)= b^x= e^{xln(b)}$$

$$f'(x)= ln(b)e^{xln(b)}= ln(b)b^x$$

$$f(x)= ln(x). ;  f'(x)= 1/x$$

Die auswendig zu lernen und hinzuschreiben ist leicht, doch sie zu begründen ist schon etwas aufwendiger, darum habe ich die Grenze so gezogen wie oben.

Hallo hogar, warum schreibst du das, wenn er schreibt, das hatten sie alles. Warum einfach alles hinschreiben 90% wusste der Frager bestimmt und war zu f.. es aufzuschreiben. im lock down geht dann die Antwort mit cut und paste zum L und der erfährt nie, was den DuD Schwierigkeiten macht!

lul

Hallo LuL

Ich bin nicht der Erzieher der Fragesteller. Er hatte Fragen und ich bemühe mich sie so zu beantworten, dass er die Antworten versteht. Wie ich schon geschrieben habe, ist es ja ein Einfaches, die Anleitungen aufzuschreiben, das findet er an vielen Stellen. Die Schwierigkeiten fangen doch an anderer Stelle an. Das habe ich doch nicht aufgeschrieben. Was ich aufgeschrieben habe, findet er in jeden Lehrbuch, vermutlich sogar viel besser.

Liebe Grüße, Hogar

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Hallo

genau das hattet ihr gerade im Unterricht? Formulierungen dafür unterscheiden sich, man kann das Wort Grenzwert oder Tangentensteigung benutzen.

Schreib was ihr hattet, deine Formulierung , dann können wir korrigieren, wenn nötig.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀
E-Mail wurde erfolgreich kopiertimageTangentensteigung

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