Zeigen Sie: Jede Cauchy-Folge komplexer Zahlen ist konvergent

Question

Aufgabe:

Jede Cauchy Folge komplexer Zahlen ist konvergent.

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich habe Probleme bei Nr. 3 b), könnte mir jemand helfen b) zu zeigen ?

Text erkannt:

Aufgabe $3(2+2$ Punkte $) .$ Eine Folge $\left(z_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \subseteq \mathbb{C}$ heisst eine Cauchy-Folge, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $N \in \mathbb{N}$ gibt, so dass $\left|z_{m}-z_{n}\right|<\varepsilon$ für alle $n, m \geq \mathbb{N}$. Zeigen Sie:
(a) Ist $\left(z_{n}=x_{n}+i y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge, so sind $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ und $\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ CauchyFolgen reeller Zahlen.
(b) Jede Cauchy-Folge komplexer Zahlen ist konvergent.

Answer 1

Hallo,

wenn du a) a schon gezeigt hast, dann weißt du, dass x_n und y_n reelle Cauchyfolgen sind. Jede reelle Cauchyfolge konvergiert, weil ℝ ein vollständiger Raum ist. Also konvergiert auch die Folge
z_n = x_n + i* y_n

gegen den Grenzwert z= x+ i*y

Letzteres kann man aus der Definition des Grenzwerts zeigen.