Skalarprodukte Multiple Choice

Question

Es sei $V$ ein $\mathrm{n}$ -dimensionaler Vektorraum und $B=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)$ eine Basis von $\mathrm{V}$. Kreuzen sie alle richtigen Antworten an

Antworten:

1.  Es gibt auf $V \times V$ genau $n$ Skalarprodukte.

2. Es gibt auf $V \times V$ genau ein Skalarprodukt.

3.  Ein Skalarprodukt auf $V \times V$ wird durch $g_{i j}=\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle$ eindeutig bestimmt.

4.  Basisvektoren erfülen immer $\left\langle b_{i}, b_{j}\right\rangle=\delta_{i j}$

5.  Die Menge $L=\left\{f_{i} \mid i=1 \ldots n\right\}$ mit $f_{i}(v)=\left\langle v, b_{i}\right\rangle$ ist eine Basis des Dualraums von $V$

Answer 1

Ich meine, dass nur 3 und 5 wahr sind.

Comments

Okay und können Sie das auch begründen? Ich muss ja irgendwie einen Einblick in die Zusammenhänge finden

---

zu 1 und 2 und 4 ist es wohl so:

Wenn man etwa in R² für ein positives k nimmt:

$$<\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix};\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}>:=kax+kby$$

sind m.E. alle Eigenschaften eines Skalarproduktes erfüllt.

3 lässt sich nachrechnen, durch Darstellung zweier

Vektoren mit der gegebenen Basis.

Bei 5 bin ich mir nicht ganz sicher.