Es sei \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{5} \) und \( \operatorname{Rang}(f)=4 \).
a) Erläutern Sie allgemein, warum es immer geeignete Basen von \( \mathrm{R}^{4} \) und \( \mathrm{R}^{5} \) gibt, so dass die Matrix von \( f \) bezüglich dieser Basen von der Formen \( A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \) ist.
b) Warum gibt es eine geeignete \( 4 x 4 \) Untermatrix \( B \) von \( M_{S}^{S}(f) \) durch Streichen einer speziellen Zeile, so dass \( \operatorname{det}(B) \neq 0 \).
c) Es sei \( f \) bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\( C:=\left(\begin{array}{llll} 4 & 2 & 4 & 7 \\ 3 & 3 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)
gegeben.
Bestimmen Sie die geeigneten Basen, so dass \( C \) bezüglich dieser Basen von der entsprechenden Form aus Tell a) ist.
Im Anhang habe ich meinen Ansatz, könntet ihr bitte gucken ob das so korrekt ist. Falls ihr sonst wisst wie man das löst, wäre ich euch sehr dankbar für eure Tipps!
Text erkannt:
a) Zeilenumfarmung ohraten uir:
\( \left.\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 13 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 8 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
Text erkannt:
a) Zeilenumfarmung ohraten uir:
\( \left.\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 13 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 8 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
