Zeigen von Rekursiongleichungen mit Laplace Entwicklung und Induktion

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Matrix

A_n = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & ... & 0 \\ -1 & 2 & -1 & ... & ... \\ 0 & -1 & 2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & -1 \\ 0 & ... & 0 & -1 & 2\end{pmatrix} \)

mit Eintrag 2 auf der Hauptdiagonalen, Eintrag -1 auf den beiden Nebendiagonalen. Alle anderen Eintrage sind 0.
Wir definieren d_n = detA_n.

(a)

Zeigen Sie die Rekursionsgleichung d_n = 2d_n-1 - d_n-2, indem Sie wie folgt vorgehen: Wenden Sie (eventuell mehrfach) den Laplaceschen Entwicklungsatz an, sodass die auftauchenden j x j-Matrizen mit j < n gleich A_j sind.

(b)

Folgern Sie aus der Rekursionsgleichung mit vollstandiger Induktion: d_n=n+1