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Es sei $$ A= \begin{pmatrix} 9 & -450 \\ 12 & 25 \\ 20 & 0 \end{pmatrix} $$

Bestimme die QR-Zerlegung mit Givens-Drehung.

Kann mir jemand vielleicht helfen bei den Drehmatrizen? Ich habe es bereits ausgerechnet, aber ich bekomme immer etwas falsches für die Matrix Q raus.

Also für die erste Drehmatrix habe ich folgendes raus:

$$ G_{21}= \begin{pmatrix} 0,6 & 0,8 & 0 \\ -0,8 & 0,6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Stimmt die? Freue mich über jegliche Hilfe.

vor von

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Hm,

ich hab hier

https://www.geogebra.org/m/f2t62ad9

eine App dazu. Musst Du allerdings anpassen weil das Beispiel R4x3 ist.

Ich komm auf


\(\small Q_3 Q_2 Q_1= \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&\frac{15}{17}&\frac{8}{17}\\0&\frac{-8}{17}&\frac{15}{17}\\\end{array}\right) \, \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{5}&0&\frac{4}{5}\\0&1&0\\\frac{-4}{5}&0&\frac{3}{5}\\\end{array}\right)  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{5}&\frac{4}{5}&0\\\frac{-4}{5}&\frac{3}{5}&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

und damit stimmen wir für Q1 überein...

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}\frac{9}{25}&\frac{-396}{425}&\frac{-4}{85}\\\frac{12}{25}&\frac{97}{425}&\frac{-72}{85}\\\frac{4}{5}&\frac{24}{85}&\frac{9}{17}\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}25&-150\\0&425\\0&0\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr}9&-450\\12&25\\20&0\\\end{array}\right) \right\} \)


Nachtrag:

In Zeile 17 kannst Du Dir einzelne Qi erstellen lassen

Eliminiere a31 (a21 hast Du ja schon weg)

(17) G_T(3,1,3)

↦\(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{akk}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&0&\frac{aik}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}\\0&1&0\\\frac{-aik}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}&0&\frac{akk}{\sqrt{akk^{2} + aik^{2}} \; \operatorname{sgn}\left(akk \right)}\\\end{array}\right) \)

dann einsetzen der Werte aus Schritt 1: Q A

(18)Substitute($17,{akk = Element(Q1 A,1,1), aik = Element(Q1 A,3,1)})

↦\(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{3}{5}&0&\frac{4}{5}\\0&1&0\\\frac{-4}{5}&0&\frac{3}{5}\\\end{array}\right)\)

vor von 11 k

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Die hat mir wirklich weitergeholfen. Ich dachte, dass ich dann irgendwie noch das Inverse bilden muss. Da hatte ich wohl einen Denkfehler drin.

Ich hätte noch eine kleine Rückfrage. Ich habe noch $$b= \begin{pmatrix} 7225\\7225\\1445 \end{pmatrix}$$ gegben und soll eine Lösung für das Kleinste-Quadrate-Problem bestimmen mittels Rücksubstitution.

Es gilt $$||Ax - b||^{2} = ||Rx - G_{32}G_{31}G_{21}b||^2 \rightarrow min$$

Da muss ich nur die ausgerechneten Matrizen einsetzen und würde zwei Werte erhalten, oder?

Hm, lass mich mal zusammenfassen.

Givens liefert ab

Q3 Q2 Q1 A = R ===Q=(Q3 Q2 Q1)T===> A = Q R

Du hast

A x = b

\(\small \left(\begin{array}{rr}9&-450\\12&25\\20&0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}7225\\7225\\1445\\\end{array}\right)   \)

und lassen wir Givens mal bei Seite. min wird mit der Normalengleichung (*)

AT A x = AT b

\( \small \left(\begin{array}{rr}625&-3750\\-3750&203125\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}180625\\-3070625\\\end{array}\right)   \)

(Q R)T Q R x = (Q R)T b

RT QT Q R x = RT QT b ,  QT Q = E

RT R x = RT QT b

dann sind wir wieder bei (*).

und was weiter?

Ein anderes Problem?

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