Bestimmen Sie den Grenzwert für xn+1= 1/2*(xn + 2/xn).

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert für xn+1= 1/2*(xn + 2/xn). Arbeiten sie hier so, dass sie den Grenzwert durch schrittweises Anwenden immer nur eines Grenzwertsatzes berechen.


Problem/Ansatz:

Sitzte schon Stunden an der Aufgabe und bekomme nich nich einmal einen Ansatz hin. Brauche hierzu hilfe.

Comments

Was ist denn über den Startwert \(x_0\) oder \(x_1\) bekannt?

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x1= 2

x2= 1,5

x3= ca. 1,417

x4= ca. 1,414

x5= ca. 1,414

x6= ca. 1,414

Answer 1

xn+1= 1/2*(xn + 2/xn)

==>  $$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim\limits_{n\to\infty} ( \frac{1}{2}*(x_{n} +\frac{2}{x_{n}}))$$

Und jetzt Schritt für Schritt die Grenzwertsätze anwenden.

Und dabei beachten $$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=g $$

Dann gibt das $$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim\limits_{n\to\infty} ( \frac{1}{2}*( x_{n} +\frac{2}{x_{n}}))$$  $$==>  g = \lim\limits_{n\to\infty}  \frac{1}{2}* (\lim\limits_{n\to\infty}x_{n} +\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{x_{n}})$$

$$==>  g =  \frac{1}{2}*( g +\frac{\lim\limits_{n\to\infty}2}{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}})$$

$$==>  g =  \frac{1}{2}*( g +\frac{2}{g})$$

==>  2g = g + 2/g

==>  g^2 = 2

==>  g = ±√2   Je nach Startwert .

Comments

Wie bist du auf g^2= 2 gekommen ?

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2g = g + 2/g   | -g

2g = 2/g

2g^2 = 2

g^2 = 1   Oha, verrechnet !