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Substitution bei den Cardanischen Formeln zur reduzierten Form

x3 + ax2 + bx + c = 0

Substitution mit: x = z - a/3

demnach:

$$ x^{ 3 }+ax^{ 2 }+bx+c\quad =\quad 0\\ x\quad =\quad z-\frac { a }{ 3 } \\ { (z-\frac { a }{ 3 } ) }^{ 3 }\quad +\quad a{ (z-\frac { a }{ 3 } ) }^{ 2 }\quad +\quad b{ (z-\frac { a }{ 3 } ) }\quad +\quad c\quad =\quad 0\\ \\ ...?\\ \\ z^{ 3 }\quad +\quad (b-\frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } )z\quad +\quad \frac { 2{ a }^{ 3 } }{ 27 } -\frac { ab }{ 3 } +c\quad =\quad 0\\ z^{ 3 }\quad +\quad pz\quad +\quad q\quad =\quad 0 $$

Grafik:

cardanische-formeln-substitution-reduzierte-form

Die Zwischenschritte kriege ich irgendwie nicht hin.

Bin über jede Hilfe dankbar!!!

Gefragt von

Ist die Substitution mit x = z - a/3 nicht die Tschirnhaus Transformation (wiki engl.)?

Na jedenfalls recht ähnlich zur cardanischen Substitution.

1 Antwort

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Dafür musst du erstmal die drei Potenzen ausrechnen:

(z-a/3)1 = (z-a/3)

(z-a/3)2 = z2-2az/3 + a2/9

(z-a/3)3 = (z2-2az/3 + a2/9)*(z-a/3) = z3-z2a+za²/3 - a3/27

 

Setzt man das nun in die Gleichung ein, dann erhält man:

(z3 - az2 + a2z/3 - a3/27) + a(z2-2az/3 + a2/9) + b(z-a/3) + c = 0

Sortiert nach Potenzen von z:

z3 - az2 + az2 + a2/3 z - 2a2/3 z +bz - a3/27 + a3/9 -ab/3 + c = 0

Die roten Terme heben sich gegenseitig weg, die grünen subtrahieren sich zu -a2/3 z.

Für die blauen gilt:
 

a3/9 - a3/27 = 3a3/27 - a3/27 = 2a3/27

Damit ergibt sich:

z3 + z*(b - a3/3) + a2/27 - ab/3 + c = 0
 

Beantwortet von 10 k

Sehr schön aufgelöst!

Als Ergänzung die Zwischenschritte für die Umformung von (z-a/3)3:

(z-a/3)3

= (z2-2az/3 + a2/9)*(z-a/3)

= z2*(z-a/3) + (-2az/3)*(z-a/3) + (a2/9)*(z-a/3)

= z2*z - z2*a/3 + (-2az/3)*z - (-2az/3)*(a/3) + (a2/9)*z - (a2/9)*(a/3)

= z3-az2/3 - 2az2/3 + 2a2z/9 + za2/9 - a3/27

= z3 - z2a/3 - 2z2a/3 + 2za2/9 + za2/9 - a3/27

= z3       - 3z2a/3        +      3za2/9     - a3/27

= z3       - z2a        +      za2/3     - a3/27

= z3 - z2a + za²/3 - a3/27

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